Топологические пространства (стр. 7 из 8)

f = pr_Y

где pr_Y : Y ´ F® Y – проекция на сомножитель Y.

Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.

Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции pr_Y : Y ´ F® Y. Пусть y Î Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Í Oy точки у трубка f ^–1(U) несвязна. Положим f ^–1(U) = О₁

О₂, где О₁, О₂ – непустые дизъюнктные открытые в f ^–1(U) множества и U Í Oy – некоторая фиксированная связная окрестность точки y.

Пусть х Î f ^–1(y). Тогда х Î О₁ или х Î О₂. Допустим х Î О₁. Найдётся такое открытое в Y ´ F множество G₁, что О₁= G₁

X. По определению топологии, в Y ´ F найдутся окрестность V_xÍ U точки y и открытое в F множество W такие, что

х Î

= V_x´ W Í G₁.

Так как множество f ^–1(y) – связное по условию, то х Î f ^–1(y) Í О₁.

Пусть х¢ – произвольная точка из (V_x´ W)

Х. Тогда х¢ Î О₁ и

f ^–1(f (x¢ )) Í О₁.

Следовательно, О₁ содержит всякий слой f ^–1(y¢ ), где y¢ Î V_x (в силу послойной связности f ).

Таким образом, для каждой точки х Î О₁ найдётся окрестность V_xÍ U точки f (x), что х Î f ^–1(V_x) Í О₁. Поэтому

Следовательно, множество

является окрестностью точки y и O₁= f ^–1(V₁). Аналогично устанавливается, что O₂= f ^–1(V₂), где V₂ непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V₁V₂, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y.

Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y, то слой f ^–1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = pr_Y: X ´ Y ® Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y =

Î Y и слой f ^–1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) Î X ´ Y, где х =

, y =

. Тогда слой f ^–1(y) \ {z} – несвязное множество. Отображение f = pr_Yпри этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f ^–1(U) – линейно связна, следовательно, трубка f ^–1(U) – связна.

2.5. Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где

Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:

для любой точки y Î Y.

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ´ g также является послойно связным отображением.

Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x Î X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.

Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Ì Х \ Т.

Возьмём произвольную точку x Î X \ Т. Тогда f (x) = y₁ Î Y, g(x) = y₂ Î Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy₁ точки y₁ и Оy₂ точки y₂ такие, что

Оy₁

Оy₂ = Æ. {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f ^–1(Oy₁), g^–1(Oy₂) – открытые в Y и x Î f ^–1(Oy₁), x Î g^–1(Oy₂). Рассмотрим окрестность Ох = f ^–1(Oy₁)

g^–1(Oy₂) точки х. Предположим, что Ох

Т ≠ Æ, т.е. существует такая точка х₁ Î Ох, что f (x₁) = g (x₁) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy₁, так и окрестности Oy₂, что противоречит условию {*}. ÿ

Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ´ Y является компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω =

– открытое покрытие пространства X ´ Y. Рассмотрим слой

= Y ´ {x}.

Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому

– компактное множество. Тогда из открытого покрытия

Ω(х) =

Í Ω,

(где U_a(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя

можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω(х) =

. Объединение

U(x) =

(x) (**)

есть открытое множество, содержащее слой

, и pr_X – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что

Í U(x). Семейство {Оx: x Î X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Ox_i: i = 1,.., k}. Тогда семейство ω =

образует конечное подпокрытие пространства X ´ Y. ÿ

Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ´ g также является связным отображением компактного пространства Т.

Доказательство. По определению послойного произведения,

(

– непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и

. Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ´ Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ´ g является связным.