Топологические пространства (стр. 8 из 8)
Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ´ Y является хаусдорфовым множеством.
Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точки пространства X ´ Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 ¹ x2 или y1 ¹ y2. Пусть y1 ¹ y2. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1
Oy2 = Æ. Проекция prY является непрерывным отображением, поэтому множества 
и 
– открытые в X ´ Y и непересекающиеся. Причём, z1 Î 
и z2 Î . Следовательно, пространство X ´ Y – хаусдорфово по определению. Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ´ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): f
prX = i prY = prY}. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X ´ Y. Пусть (x1; y1) Î T – произвольная фиксированная точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = f 
prX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) Î Т выполняется неравенство prX (x1; y1) ¹ prX (x2; y2) при х1 ¹ х2. Следовательно, непрерывное отображение prX : Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X ´ f (X) Í X ´ Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = prX : T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т 
Х, и f = prY 
. Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g–1: X ® T. Таким образом, множество d(Х) = Т замкнуто в X ´ Y, и f = prY d. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению. Литература.
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.
2. Александров П.С. Геометрия.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.