Трансформация преобразований (стр. 4 из 8)
8. Трансформация подобия движением
Пусть подобие – это композиция движения f и гомотетии
, тогда подобие под движением g 
по формулам (2) есть 
. fg = f1 – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при движении g, а по формуле (21) 
. Тогда 
, а это подобие.
. (28)9. Трансформация гомотетии подобием
Рассмотрим
. В силу ассоциативности композиции преобразований, 
. По формуле (24), 
, 
. Тогда 
(по формуле (21)). Таким образом,
. (29)10. Трансформация подобия подобием
Подобие φ под подобием ψ
. По формулам (2), 
. 
- движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ. По формуле (29), 
. Тогда
, (30)где ξ - подобие такое, что
, , а h – движение того же вида, что и f, а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ.11. Трансформация движения аффинным преобразованием
11.1. Трансформация параллельного переноса аффинным преобразованием
Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании 
. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 3), которая при параллельном переносе 
прейдет в точку М2, 
, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что вектор 
при преобразовании g перейдет в вектор 
, значит, вся трансформация 
есть параллельный перенос на вектор 
.
, (31)где
.
Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании 
. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 4), которая при центральной симметрии ZO прейдет в точку М2, О – середина М1М2, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ3 (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке g(O) будет неподвижной точкой нового преобразования, значит, вся трансформация 
есть центральная симметрия Zg(O). 
. (32)
Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании 
. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 5), которая при осевой симметрии Sl прейдет в точку М2, 
, О – середина М1М2, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ3 (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), и ее образ – О1 – будет лежать на образе прямой l при преобразовании g - g(l). По теореме о неподвижных прямых, прямая g(l) будет неподвижной прямой нового преобразования. Заметим также, что если при осевой симметрии прямые, соединяющие точки с их образами, были параллельны, то и после трансформации они будут параллельны и наклонены под одним и тем же углом к прямой g(l), значит, вся трансформация 
есть косая симметрия Sg(l).
. (33)
Рассмотрим произвольную точку М, найдем ее образ при преобразовании 
. При преобразовании g-1 она переходит в точку М1(рис. 6), которая при гомотетии 
прейдет в точку М2, 
, далее М2 при преобразовании g перейдет в точку М3. Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в точку О1 на прямой ММ3, причем 
(т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке точка О1 будет неподвижной при новом преобразовании, значит, вся трансформация 
есть гомотетия 
.