Трансформация преобразований (стр. 5 из 8)
. (35)13. Трансформация аффинного преобразования гомотетией
Далее будем предполагать, что аффинные преобразования g и g-1 заданы аналитически.
g:
g-1: 
где образы начала координат и базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O’(d1, d2, d3), 
(a1, a2, a3), 
(b1, b2, b3), 
(c1, c2, c3), а при преобразовании g-1 O’’(n1, n2, n3), 
(k1, k2, k3), 
(l1, l2, l3), 
(m1, m2, m3).Известно, что движение является частным случаем аффинного преобразования, значит, движение под аффинным преобразованием, как композиция аффинных преобразований, также будет аффинным преобразованием.
13.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования гомотетией
Выберем систему координат таким образом, чтобы центр гомотетии совпадал с началом координат, тогда
будет задаваться аналитически следующим образом. 
Рассмотрим произвольную точку М(x, y, z), найдем ее образ при преобразовании 
. При гомотетии 
точка М переходит в точку М1(x/k, y/k, z/k). Далее, при аффинном преобразовании g М1 переходит в точку М2( 
, 
, 
). M2 при гомотетии переходит в М3( 
, 
, 
). Тогда 
- аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.
(34)Мы получили, что
(35)где
- параллельный перенос, 
.
, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 7). 
Точка А при гомотетии 
перейдет в точку А1, которая при косом сжатии перейдет в точку А2 такую, что А1А2 || l, 
. Точка А2 при гомотетии 
– инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А1 и А2 проведем перпендикуляры на прямую q – А1В1 и А2В2, а из точек А и А3 – на прямую q1 – АВ и А3В3. Тогда АВ и А3В3 – образы отрезков А1В1 и А2В2 при гомотетии 
, следовательно, 
. Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q1 изменилось в m раз: 
. Причем из того, что А1А2 || l, следует, что AA3 || l, потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую, значит, точка А сместилась в направлении l. Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть косое сжатие с осью 
, направлением l и коэффициентом m.
, для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 8). 
Точка А при гомотетии 
перейдет в точку А1, которая при сдвиге перейдет в точку А2 такую, что А1А2 || q, 
. Точка А2 при гомотетии 
перейдет в точку А3. Заметим, что прямая 
– инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точки А1 проведем перпендикуляр на прямую q А1В1, а из точки А – на прямую q1 – АВ. Тогда АВ – образ отрезка А1В1 при гомотетии 
и АА3||А1А2||q||q1, (потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую), следовательно, 
и АА3||q1. Мы получили, что при этой трансформации точка А смещается параллельно прямой q1 на расстояние, пропорциональное ее расстоянию от прямой q1: 
. Следовательно, в силу произвольности точки А, искомая трансформация есть сдвиг с осью 
и коэффициентом m.
, 
. При параллельном переносе 
точка М переходит в точку М1(x-a, y-b, z-c). Далее, при аффинном преобразовании g точка М1 переходит в точку М2(a1x + b1y + + c1z - aa1 - bb1 - cc1 + d1, a2x + b2y + c2z - aa2 - bb2 - cc2 + + d2, a3x + b3y + c3z - aa3 - bb3 - cc3 + d3). M2 при параллельном переносе 
переходит в М3 (a1x + b1y + c1z - aa1 - bb1 - cc1 + d1 + a, a2x + b2y + c2z - aa2 - bb2 - cc2 + d2 + + b, a3x + b3y + c3z - aa3 - bb3 - cc3 + d3 + c) (п. 13). Тогда 
- аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.