Три задачи по теории чисел (стр. 2 из 4)
(2)где
= 1;2;3;4 и если 
- рациональное число.Доказательство
Положим
. Очевидно, x, y и z – это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числами являются р1, р2, р3 . Так как р1, р2, р3 в (1) и (2) равноправны, то за в (2) мы можем принять любое из них, т.е. 
= 1;2;3. Пусть для определенности 
(3), тогда р4 на основании (1) принимает вид: 
(4)Таким образом, замена р1, р2, р3 на x, y и z является обратимой (число р4 в обоих случаях является зависимой переменной).
Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число
Тогда имеем:
(5)где x, y и z – ненулевые рациональные числа, а (5) равносильно
(6)Действительно, можно из уравнения (6) получить (5):
, (6) 
, 
, 
, 
(5), что и требовалось доказать.Обозначим
. Тогда (6) примет вид: 
. Так как x, y и z - рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени , которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах.Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Примечание:
1). Легко понять, что суммой P4 в (1) может быть являться любое из слагаемых (например:
), а произведение новых членов остается прежним, то есть 
,где i может принимать и значение 4, тогда в произведении
2). . А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р1, р2, р3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.
Случаи, когда А=0, или В=0, противоречат нашему утверждению.
Действительно, если, например,
то из 
В = С 
= 
x = 0 x = 0 
х=0, что противоречит нашему утверждению.Аналогичные рассуждения и для В=0.
Утверждение 2
Пусть
являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем 
для всех x. Тогда функция 
ни в одной рациональной точке x не может быть равной ни 
, то есть не может выполняться соотношение 
.Доказательство
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Утверждение 3.
Пусть
являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z , …, причем 
для всех x, y, z, …. Тогда функция 
ни в одной из рациональных точек x, y, z, … не может быть равной ни 
то есть не может выполняться соотношение
где i=1;2;3;4
Доказательство
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.
Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Для анализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.
Примеры
1.
где x2 – второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом => уравнение
не разрешимо в рациональных числах.2.
где x – второе слагаемое, которое при рациональном x – рациональное число.
не разрешимо в рациональных числах.3.
где y – третье слагаемое, которое при рациональном y – рациональное число
не разрешимо в рациональных числах.Следствие
Система уравнений
неразрешима в рациональных числах, где
- переменные (не равные 0).Задача 3
Утверждение (n=3) Уравнение
a3 = b2 + cd2 (1)
где с = const, имеет следующее решение:
a = α2 + cβ2 b = α3 - 3cαβ2 d = 3α2β - cβ3
где α и β - произвольные числа.
Доказательство
Рассмотрим тождество
(2) (x2+cy2)(u2+cυ2)≡(xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2
где с = const (некоторое число); x,y,u,υ - переменные (произвольные числа).
Если один из 2x сомножителей в скобках левой части тождества (2) является квадратом другого (например: (x2+cy2)2=u2+cυ2), то тождество (2) можно записать не через четыре переменных x,y,u,υ, а только через две (α и β), где α и β-другие переменные.
Действительно, если (x2+cy2)2=u2+cυ2 (3), общий вид которого
(4) a12=u2+cυ2 (случай, когда(n=2)), а его решения (это специалистам известно):
(5) a1=α2+cβ2,
(6) u=α2-cβ2,
(7) υ=2αβ, где α и β-произвольные числа ((эти решения специалистам известны).
(Действительно, если в (4) подставить его решения (5), (6) и (7), то получим тождество: (α2+cβ2)2 ≡ (α2-cβ2)2+c(2αβ)2 (8). Следовательно, имеем следующее:
(9) x2+cy2=α2+cβ2
(6) u=α2-cβ2
(7) υ=2αβ
Уравнение (9) обращается в тождество при x=α (10) и y=β (11), значит
(10) и (11) являются решениями (9).
Учитывая (3), тождество (2) запишется в виде уравнения:
(x2+cy2)(x2+cy2)2=(xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2=>
=> (12) (x2+cy2)3=(xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2
Учитывая (6), (7), (10) и (11), уравнение (12) запишется:
(α2+сβ2)3=[α·(α2-cβ2)-cβ·2αβ]2+c[α·2αβ+β(α2-cβ2)]2=
=[α3-cαβ2-2cαβ2]2+c[2α2β+βα2-cβ3]2=(α3-3cαβ2)2+c(3α2β-cβ3)2 =>
=> (13) (α2+cβ2)3≡(α3-3cαβ2)2+c(3α2β-cβ3)2