Три задачи по теории чисел (стр. 4 из 4)

где в правой части тождества 25 в обеих скобках слагаемые представляют собой слагаемые бинома Ньютона

(α + β)ⁿ, умноженных на ±c^m, где m = 0,1,2,3…,

знак «+», если m-четное,

k_i – биноминальные коэффициенты, где i= 3,4,5,…,

k₁ = 1 - первые два биноминальных коэффициента при αⁿ и α^n-1β.

k₂ = n

Глядя на уравнение (1) и тождество (25), определяем, что решением уравнения (1) aⁿ = b² + cd² являются:

a = α² + cβ²

b = αⁿ – k₃cα^n-2β² + k₅c²α^n-4β⁴ – k₇c³α^n-6β⁶ +…

d = nα^n-1β – k₄cα^n-3β³ + k₆c²α^n-5β⁵ – k₈c³α^n-7β⁷ +…, ч.т.д.

Утверждение. ( n>1-любое натуральное)

Уравнение aⁿ = b² + cd² (1), где c = const, имеет следующее решение:

a = α² + cβ²

(2) b = αⁿ – k₃cα^n-2β² + k₅c²α^n-4β⁴ – k₇c³α^n-6β⁶ +…

d = nα^n-1β – k₄cα^n-3β³ + k₆c²α^n-5β⁵ – k₈c³α^n-7β⁷ +…,

k_i – биноминальные коэффициенты степени n,

где i = 3; 4; 5; 6; 7; 8…,

k₁ = 1 первые два биноминальных

k₂ = n коэффициента для степени n,

n – натуральная степень (n > 1)

Общее доказательство

(Метод математической индукции)

Итак, нами доказана справедливость найденного решения (2)

уравнения (1) для степеней n = 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Предположим, что решение (2) справедливо и для степени n–1.

Тогда, обозначив биноминальные коэффициенты для этой степени k_i/n-1, где i = 1; 2; 3…, (k_1/n-1 = 1, k_2/n-1 = n-1), можно записать тождество:

(3) (α² +cβ²)^n-1 ≡

≡

(α^n-1 – k_3/n-1cα^n-3β² + k_5/n-1c²α^n-5β⁴ – k_7/n-1c³α^n-7β⁶ +…)² +

(первая скобка)

+ c(k_2/n-1α^n-2β – ck_4/n-1α^n-4β³ + c²k_6/n-1α^n-6β⁵ – c³k_8/n-1α^n-8β⁷ + …)² ⇒

(вторая скобка)

⇒ (α² + cβ²)^n-1 ≡ (первая скобка)² + c(вторая скобка)² (3')

При нахождении решений уравнения (1) для частных случаев (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7) мы использовали соотношение:

(4) aⁿ = (xu - cyυ)² + c(xυ + yu)²,

где n = 2; 3;…7.

x = α

y = β

a = x² + cy² = α² + cβ²

(5) b = xu – cyυ = αu – cβυ

d = xυ + yu = αυ + βu

где, в свою очередь

u = (первая скобка)

υ = (вторая скобка), для n = 2; 3; 4; 5; 6; 7 в соотношении (3) (или (3'))

Аналогично рассуждая, попробуем доказать справедливость теоремы для произвольной степени n, предположив, что она справедлива для степени n – 1

Это значит, что надо исследовать решение (5) уравнения (4) (или, что тоже, уравнения (1)) для произвольной степени n.

Итак, пусть для произвольной степени n

a = α²+ cβ² (6)

b = αu – cβυ = α(первая скобка) – cβ(вторая скобка) =

= α(α^n-1-k_3/n-1cα^n-3β² + k_5/n-1c²α^n-5β⁴-k_7/n-1c³α^n-7β⁶+...)

- cβ(k_2/n-1α^n-2β – ck_4/n-1α^n-4β³ + c²k_6/n-1α^n-6β⁵ –

– c³k_8/n-1α^n-8β⁷ +…) =

= (αⁿ – ck_3/n-1α^n-2β²+ c²k_5/n-1α^n-4β⁴ – c³k_7/n-1α^n-6β⁶+…) +

+ (-ck_2/n-1α^n-2β² + c²k_4/n-1α^n-4β⁴ – c³k_6/n-1α^n-6β⁶ +

+ c⁴k_8/n-1α^n-8β⁸-…) =

= αⁿ – c(k_2/n-1 + k_3/n-1)α^n-2β² + c²(k_4/n-1 + k_5/n-1) +

+ α^n-4β⁴- c³(k_6/n-1 + k_7/n-1)α^n-6β⁶ +…=

= αⁿ- ck₃α^n-2β² + c²k₅α^n-4β⁴-c³k₇α^n-6β⁶ +….

b = αⁿ- ck₃α^n-2β² + c²k₅α^n-4β⁴-c³k₇α^n-6β⁶ +… (7)

где (8) k_ί = k_ί-1/n-1 + k_ί/n-1 – биноминальные коэффициенты для степени n;

ί = 3;5;7;…;

k₁ = 1 – первый биноминальный

коэффициент при αⁿ в (7);

k_ί-1/n-1 и k_ί/n-1 – два биноминальных последовательных

коэффициента для степени n – 1.

Соотношение (8) - это одно из свойств биноминальных коэффициентов в «Треугольнике Паскаля»:

Каждый из биноминальных коэффициентов равен сумме двух биноминальных коэффициентов, стоящих над ним.

«Треугольник Паскаля»

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Теперь найдем выражение для d:

d = αυ + βu = α(вторая скобка) + β(первая скобка) =

= α(k_2/n-1α^n-2β – ck_4/n-1α^n-4β³ + c²k_6/n-1α^n-6β⁵ –

– c³k_8/n-1α^n-8β⁷ +…) +

+ β(α^n-1-ck_3/n-1cα^n-3β² + k_5/n-1c²α^n-5β⁴-k_7/n-1c³α^n-7β⁶+...) =

= k_2/n-1α^n-1β – ck_4/n-1α^n-3β³ + c²k_6/n-1α^n-5β⁵ –

– c³k_8/n-1α^n-7β⁷ +…+ α^n-1β – ck_3/n-1α^n-3β³ + c²k_5/n-1α^n-5β⁵ –

– c³k_7/n-1α^n-7β⁷ +…=

= (1 + k_2/n-1) α^n-1β – c(k_3/n-1 + k_4/n-1) α^n-3β³ + c²(k_5/n-1 + k_6/n-1) α^n-5β⁵ – c³(k_7/n-1 + k_8/n-1) α^n-7β⁷ +…=

= k₂α^n-1β – ck₄α^n-3β³ + c²k₆α^n-5β⁵ – c³k₈α^n-7β⁷ +….

d = k₂α^n-1β – ck₄α^n-3β³ + c²k₆α^n-5β⁵ – c³k₈α^n-7β⁷ +… (9),

где (8) k_ί = k_ί-1/n-1 + k_ί/n-1 - – биноминальные коэффициенты для степени n; (вышеупомянутое свойство

биноминальных коэффициентов(8));

ί = 2;4;6;8;…;

k₂ = n - второй биноминальный

коэффициент для степени n;

k_ί-1/n-1 и k_ί/n-1 – два биноминальных последовательных коэффициента для степени n – 1.

Итак, учитывая (5), (6), (7), (9), уравнение (4) принимает вид:

aⁿ = b² + cd² (1), где

a = α² + cβ²

b = αⁿ – c k₃α^n-2β² + c²k₅α^n-4β⁴ – c³k₇α^n-6β⁶ +…

d = nα^n-1β – c k₄α^n-3β³ + c²k₆α^n-5β⁵ – c³k₈α^n-7β⁷ +…,

являются решениями уравнения (1) при c = const;

k_i – биноминальный коэффициент степени n;

i = 3; 4; 5; 6; 7; 8…;

k₁ = 1, k₂ = n, n > 1 - натуральная степень.

Утверждение доказано.

Скворцов Александр Петрович, учитель, ветеран педагогического труда;

г. Колпашево Томской области, август 2009.

Первая задача рецензирована в 1996 г. доктором физико математических наук.

Все три задачи чуть позже рецензированы томским специалистом математиком Тимошенко Е. (к сожалению, ни имени, ни отчества его я не знаю), которого для этой цели по моей просьбе нашел ректор ТПУ Похолков Юрий Петрович, за что я им всем очень и очень благодарен.

Отзыв специалистов о моей работе неплохой. Вот выдержка из «Рецензии на работу Скворцова А.П. «Несколько задач, теорем и утверждений по теории чисел»» Тимошенко Е.: «В данной работе особый интерес представляют доказательства неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р₁ + р₂ = р_{3 ,} где р₁* р₂ * р₃ = R³, где R – рациональное число (Задача 1. Автор), и неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы

, (Задача 2. Автор).

Автор указывает довольно широкое семейство решений уравнения aⁿ=b²+cd² (1), зависящее от двух параметров

и (Задача 3. Автор). Так, для уравнения (2) a³ = b² + cd² приводится решение а = α² + cβ² , b = α³ - 3cαβ², d = 3α²β - cβ³ (3).

К сожалению, остается недоказанным, что это решение – общее, т.е. не ясно, любое ли решение уравнения (2) может быть представлено в виде (3). То же самое можно сказать и о решении уравнения (1). … ». К сожалению, этот вопрос для меня до сих пор остается открытым. Хотя, если мое мнение кого-то интересует, интуиция мне подсказывает, что найденное мною решение уравнения (1) - единственное. Однако я хорошо понимаю, что интуиция – это еще не факт.

Думаю, что специалистам данная Задача 3 и ее доказательство известны. Однако лично мне она на глаза не попадалась. В дальнейшем в одной из очередных работ результаты этой задачи мне очень пригодились.

Что касается первых двух задач, то они мне тоже нравятся, и, думаю, могут вызвать интерес не только у специалистов, но и у студентов и школьников на факультативных занятиях.

А.П. Скворцов.