Упругопластическая деформация трубы (стр. 2 из 6)
Будем считать, что элемент тела сначала получил перемещение из точки
в точку 
, как жесткое целое, а затем произошел сдвиг за счет поворота его граней на малые углы 
, 
, т.е. угол сдвига равен 
.Для определения деформации
рассмотрим отрезок 
длиной 
. Для малых перемещений и деформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение 
, а его малый наклон, в общем случае вызываемый перемещением 
, не изменяет его длины.Обозначим:
- частный дифференциал (линейная часть приращения) функции и при изменении координаты 
на 
. 
, т.е. 
Тогда
.Аналогично
,где производная по s заменена на производную по
по соотношению 
, так как 
.Для определения деформации
рассмотрим рис. 1.4. Так как частные дифференциалы 
и 
, то 
, 
.Имеем угол сдвига
, где 
.Деформации
, 
составляют только часть полных деформаций и поэтому отмечены звездочкой. Другую часть этих деформаций получим, давая точкам элемента перемещения 
(рис. 1.5) и 
(рис. 1.6). 
Соответственно получим деформации, обусловленные кривизной элемента
,где знак минус соответствует возрастанию первоначально прямого угла элемента.
Окончательные суммарные деформации
, 
, 
будут
Эти равенства представляют геометрические уравнения в полярных координатах, являющиеся аналогом уравнений Коши.
1.4 Линейный закон Гука (физические уравнения)
Для линейно-упругих изотропных тел физическими уравнениями являются соотношения для обобщенного закона Гука, известные из курса сопротивления материалов
,где
и 
- модули упругости при растяжении и сдвиге, а 
- коэффициент Пуассона. Для изотропного материала они связаны зависимостью 
, так что независимых постоянных упругости для указанного материала имеется только две.Запишем выражение для относительной объемной деформации элемента
,где
- модуль объемной деформации материала.Заметим, что при
модуль объемной деформации 
, что, согласно выражению для относительной объемной деформации, соответствует материалу, не изменяющему объем при деформации (несжимаемый материал).В случае плоского напряженного состояния система примет вид:
.Для плоской деформации (
) закон Гука записывается в несколько иной форме в виду наличия напряжения 
: 
, 
.Эта система совершенно аналогична системе, описывающей напряженное состояние, но содержит новые условные константы упругости
, 
,причем легко проверить, что справедливо равенство
.С учетом введенных условных констант упругости физические соотношения для плоской деформации примут тот же вид, что и для случая плоского напряженного состояния, но в них надо заменить
на 
, на 
.Таким образом, любое решение приведенных выше уравнений для плоского напряженного состояния может быть применено и для соответствующего случая плоской деформации после замены действительных констант упругости данного материала на условные. Учитывая сказанное, в дальнейшем будем подразумевать под плоской задачей случай плоского напряженного состояния.
В полярной системе координат уравнения закона Гука остаются без изменения, меняются лишь индексы у напряжений и деформаций:
.Полученные уравнения дают возможность вычислить деформации, если известны напряжения. Назовем их законом Гука в прямой форме.
Преобразуем
.В обратной форме
или, так как
, то 
.1.5 Условия пластичности
При решении задач теории пластичности во многих случаях необходимо знать, при каких условиях материал в рассматриваемой точке переходит из упругого состояния в пластическое. Такие условия называются условиями пластичности. При линейном напряженном состоянии условие пластичности устанавливается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напряжение
и пластические деформации возникают, когда
; 
, (1.5.1)где
- предел текучести при растяжении (постоянная величина для каждого материала). При чистом сдвиге условие пластичности, получаемое экспериментальным путем, имеет вид