Сравнительный анализ численных методов (стр. 3 из 6)

Вычислим значения

и в двух точках, отличных от узлов интерполяции, и сравним их.

Для сравнения выберем точки: середина крайней части отрезка х=0.29375 и середина части, содержащей точку (a+b)/2 - х=0.18125.

Результаты для точки находящейся в середине отрезка начинают различаться на 13 знаке после запятой; для крайней точки - на 14-ом знаке. Следовательно, точность данного метода достаточно велика.

Рисунок 11. График исходной функции и интерполяционного многочлена.

Используя эти же узловые точки проведем обратную интерполяцию и определим значение х при у=0.

Y=0

L4(0)=0,1541658

Данный результат очень близок к найденным раннее решениям , методом хорд и методом касательных и совпадает с ними до 5-го знака после запятой.

Решение найденное методом хорд: х=

Решение найденное методом касательных: х=

Раздел 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Методы решения линейных уравнений делятся на две группы – прямые и итерационные. Для систем уравнений средней размерности чаще всего используют прямые методы. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны. Но вместе с тем эти методы имеют ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы, и при больших значениях расходуется много места в памяти. Существенным недостатком прямых методов является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций.

Итерационные методы в этом отношении предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n компонентами. Погрешности окончательных результатов при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений.

Применение итерационных методов для качественного решения СЛАУ требует серьёзного использования её структуры, специальных знаний и определённого опыта. Именно поэтому разработано большое число итерационных средств, каждый из которых ориентирован на решения сравнительно узкого числа задач, и существует довольно мало программ, реализующих эти методы. В курсе математического обеспечения САПР мы рассмаривали следующие итерационные методы решения СЛАУ: метод простой итерации, метод Зейделя.

3.1 Метод простой итерации

Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов. Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений.

Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде

, где A- квадратная невырожденная матрица. Затем необходимо преобразовать систему к виду

x=Bx+c,

где В- квадратная матрица с элементами bij (I,j=1,2,3…m) c- вектор-столбец с элементами ci (i=1,2,3…m)

В развёрнутой форме записи система имеет вид:

x1=b11x1+b12x2+b13x3+…b1mxm+c1

x2=b21x1+b22x2+b23x3+…b2mxm+c1

x3=b31x1+b32x2+b33x3+…b1mxm+c3

xm=bm1x1+bm2x2+bm3x3+…bmmxm+cm

Операция приведения системы к виду, удобному для итераций не является простой и требует специальных знаний. В некоторых случаях операция преобразования не имеет смысла, так как система бывает уже приведена к удобному для итераций виду.

Самым простым способом приведения системы к такому виду является тот, что описан ниже:

И первого уравнения системы выразим x1:

x1=a11-1(b1-a12x2- a13x3-…- a1mxm)

Из второго уравнения системы выразим x2:

x2=a22-1(b2-a21x2- a23x3-…- a2mxm)

xm=amm-1(bm-am1x2- am3x3-…- am-1mxm-1)

В результате получим систему:

x1=0+ b12x2+ b13x3-…+ b1m-1xm-1+ b1mxm+c1

x2= b21x2+0 +b23x3+…+ b2m-1xm-1+ b2mxm+c2

xm= bm1x1+ bm2x20 +bm3x3+…+ bmm-1xm-1+ 0+cm

в которой, на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, стальные элементы выражаются по формулам:

bij=-aij/aii ci=bi/aii (i,j=1,2,3…m, i<>j)

Итерационный процесс продолжается до тех пор , пока значения х1(k) , х2(k) , х3(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1(k-1) , х2(k-1) , х3(k-1) .

Для возможности выполнения данного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.

Часто систему преобразуют к виду x=x-

(Ax-b), где -специально выбираемый числовой параметр.

Описание метода:

Выберем начальное приближение x0=( x01 x02… x0m)

подставляя его в праву часть системы

x=Bx+c,

и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение:

x1=Bx0+c

на втором шаге подставляем приближение x1 в правую часть той же системы, получим второе приближение:

x2=Bx1+c

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x1 x2 x3… xn приближений, вычисляемых по формуле :

Эта формула и выражает собой метод простой итерации.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х(k-1).

Теорема. Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы

по модулю меньше единицы, т.е. либо .Эти выражения являются условиями сходимости метода итераций

3.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя можно использовать как модификацию метода простых итераций. Основная идея модификации состоит в том, что при вычислении очередного (k+1)-го приближения к известному xi при i>1 используют используются уже найденные приближения к известным x1,… xi-1, а не k-е приближение как в методе простых итераций.

На (k+1)-й итерации компоненты приближения

вычисляются по формулам:

Условие сходимости метода Зейделя заключается в том, что матрица A системы Ax=b, должна удовлетворять условию:

модуль диагонального элемента должен быть больше суммы модулей оставшихся элементов строки или столбца.

Если данное условие выполнено, необходимо проследить, чтобы система была приведена к виду, удовлетворяющему решению методом простой итерации и выполнялось необходимое условие сходимости метода итераций:

, либо

3.3 Практическое применение метода простых итераций для решения системы уравнений

Решим систему линейных уравнений методом простых итераций с точностью равной

.

Выполним проверку на условие сходимости:

Условие выполнено, можно приступать к вычислению нулевого шага:

Начнем итерационный процесс, используя результаты начального приближения: