Сравнительный анализ численных методов (стр. 4 из 6)

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Условие остановки на первом шаге итерации не было выполнено, поэтому продолжаем итерацию, вычисляя x(2) :

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Условие остановки на втором шаге итерации не было выполнено, поэтому продолжаем итерацию, вычисляя x(3) :

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Условие остановки на третьем шаге итерации было выполнено лишь для x4, поэтому продолжаем итерацию, вычисляя x(4) :

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

Сходимость в сотых долях имеет место уже на 4-ом шаге, тогда можно принять

3.4 Практическое применение метода Зейделя для решения системы уравнений

Решим ту же систему линейных уравнений методом Зейделя с той же точностью :

.

Проверку на условие сходимости мы выполнили ранее, при решении методом простых итерации.

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Условие остановки на первом шаге итерации не было выполнено, поэтому продолжаем итерацию, вычисляя x(2) :

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Условие остановки на втором шаге итерации было выполнено лишь для x3, x4, поэтому продолжаем итерацию, вычисляя x(3) :

Проверим выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Условие сходимости выполнено на 3-ем шаге .

Корнями уравнения можно принять:

Как видно из вышеизложенных вычислений, скорость сходимости итерационного метода Зейделя выше, чем скорость сходимости метода простой итерации.

Ниже приведена сравнительная таблица1, позволяющая сравнить результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации:

Таблица1. Сводная таблица значений элементов приближений двух методов итерации

№ шага	Метод постой итерации	Метод Зейделя
0	X1=1.04 X2=1.3 X3=1.45 X4=1.55	X1=1.04 X2=1.3 X3=1.45 X4=1.55
1	X1=0.75 X2=0.95 X3=1.14 X4=1.36	X1=0.75 X2=0.9674 X3=1.1976 X4=1.40402
2	X1=1.8106 X2=1.0117 X3=1.2117 X4=1.4077	X1=0.8019 X2=0.99956 X3=1.19956 X4=1.39999
3	X1=0.7978 X2=0.9977 X3=1.1975 X4=1.3983	X1=0.80006 X2=0.00002 X3=1.19999 X4=1.39997
4	X1=0.80046 X2=0.000502 X3=1.20052 X4=1.40034

3.5 Программная реализация итерационных методов

Рисунок 12. Решение системы уравнений методом простых итераций

Рисунок 13. Решение уравнения методом Зейделя

Раздел 4. Сравнительный анализ методов численного дифференцирования и интегрирования

4.1 Методы численного дифференцирования

Необходимость численного дифференцирования может возникнуть при необходимости исследований функций заданных табличным образом, кроме тех случаев, когда вычисление производной численно может оказаться проще, чем дифференцирование.

Предположим, что в окрестности точки xi функция F(x)дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной:

используем для её вычисления две приближенные формулы:

(1)

(2)

Формулы (1) и (2) называют правыми и левыми разностными производными.

Для оценки погрешностей формул численного дифференцирования используется формула Тейлора:

откуда можно вычислить:

(3)

Выражение (3) имеет погрешность порядка (x-xi), следовательно, формулы правых и левых разностных производных имеют погрешность одного порядка с h , где

h=xi-xi-1

Такая точность достаточно невысока, поэтому применяется так называемая центрально-симметричная форма производной, погрешность которой одного порядка с h2

(4)

Хотя очевидно, что формула (4) используется для внутренних точек отрезка.

Для примера возьмём ряд точек:

Вычислим производную функции f(x)=sin(x) в одной из них двумя способами.

Очевидно, что h=

По центрально-симметричной формуле:

По формуле левой разностной производной:

Табличное значение

=cos( )=0.8660 ,т.е. значение производной, полученное по центрально-симметричной формуле ближе к истинному.

4.2 Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях:

1. в выборе конечного числа вместо n

2. в выборе точки

в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора

мы получаем различные формулы для вычисления интеграла:

Формулы левых и правых прямоугольников (5),(6)

(5)