Сравнительный анализ численных методов (стр. 5 из 6)

(6)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

где

m=n/2

h=b-a/n

b, a- концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0,

] на 6 равных отрезков:

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

Раздел 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывным образом меняются во времени. Соответствующие явления как правило подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одной из основных математических задач, которые приходится решать для таких уравнений, является задача Коши (начальная задача). Чаще всего к ней приходят тогда, когда известно начальное состояние физической величины системы в некоторый момент времени t0 (x0,y0) и требуется предсказать её поведение в момент времени t>t0 ( x>x0). В курсе математического обеспечения САПР, мы рассматривали методы решения задачи Коши с помощью решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Напомним, что решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка является функция y , которая при подстановке в уравнение

, превращает его в тождество.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x). Их можно записать в виде

где х – независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение

производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач , описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть , что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

5.1 Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение

в окрестностях узлов

(i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную

правой разностью. При этом значения функции

узлах

заменим значениями сеточной функции

Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене

на

допускается погрешность

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е.

Тогда из равенства

получаем

Заметим, что из уравнения

следует

Поэтому

представляет собой приближенное нахождение значение функции

в точке

при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.

Полагая i=0, с помощью соотношения

находим значение сеточной функции

при

Требуемое здесь значение

задано начальным условием

, т.е.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке14.

Рисунок 14 . Метод Эйлера.

На рисунке 14. изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках

. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения

. При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А(x0,y0). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ – отрезок касательной к кривой 0 в точке А , ее наклон характеризуется значением производной

. Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х0 к х1 заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом , погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.

4.2 Модификация метода Эйлера: Усовершенствованный метод Эйлера

Рассмотрим уравнение

в окрестностях узлов

В левой части уравнения

заменим производную центральной разностью

а правую часть оставим без изменений:

Приближенное значение функции

в точке

вычислим с помощью метода Эйлера: