Сравнительный анализ численных методов (стр. 1 из 6)

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский государственный технический университет

Кафедра САПР

Курсовая работа

по дисциплине: Математическое обеспечение САПР

Тема: Сравнительный анализ численных методов

Караганда 2009

Содержание

Раздел 1 Решение нелинейных уравнений

1.1 Метод хорд

1.2 Метод касательных

1.3 Практическое применение метода хорд для решения уравнений

1.4 Практическое применение метода касательных для решения уравнений

1.5 Программная реализация итерационных методов

Раздел 2. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования

2.1 Многочлен Лагранжа и обратное интерполирование

2.2 Практическое применение метода интерполяции

Раздел 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.1 Метод простых итераций

3.2 Метод Зейделя

3.3 Практическое применение метода простых итераций при решении СЛАУ

3.4 Практическое применение метода Зейделя при решении СЛАУ

3.5 Программная реализация итерационных методов решения СЛАУ

Раздел 4.Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

4.1 Методы численного дифференцирования

4.2 Методы численного интегрирования

Раздел 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1 Метод Эйлера

5.2 Модификация метода Эйлера

5.3 Практическое применение метода Эйлера

5.4 Практическое применение уточненного метода Эйлера

Раздел 1. Решения нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F(x)=0 , где F(x)-непрерывная функция,- встречается в различных областях научных исследований. Методы решения нелинейных уравнений делятся на :

прямые;

итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Такие методы применяются для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако, на практике встречаются уравнения, которые не удается решить простыми методами. Тогда используются итерационные методы решения, т. е. методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня (начального приближения);

б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

В некоторых методах отыскивается не начальное приближение, а некоторый отрезок, содержащий корень, например:(метод хорд, метод касательных). Начальное приближение может быть найдено различными способами, например - графическим методом. Если оценку исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a и b , в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков, т. е. F(a)>0 F(b)<0 . При выполнении этого условия, можно говорить, что между точками a и b есть, по крайней мере, одна точка, в которой F(x)=0 .

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0 . Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1 ,х2 , х3, … , хn ,… Если эти значения с ростом n стремятся к истинному значению корня

, то говорят , итерационный процесс сходится.

1.1 Метод хорд

Пусть мы нашли отрезок [a ,b] , на котором функция F(x) меняет знак. Для определенности примем F(a) >0 , F(b)<0 . В данном методе процесс итераций состоит в том , что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х0, х1,… точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала найдем уравнение хорды АВ:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс ( y=0, ) получим уравнение

.

Далее, сравнивая знаки величин F(a) и F(x) для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале (a, x) , так как F(a)*F(x)<0 (условие существование корня). Отрезок [x , b] отбрасываем и больше не рассматриваем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения xn как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и так далее.

На рисунке 1 изображена геометрическая интерпретация нахождение решения методом хорд.

Рисунок 1. Метод хорд

При решении уравнения методом хорд поводится прямая соединяющая концы отрезка [a,b]. Из двух точек А и В выбирается х0. Находится точка пересечения хорды с осью OX. Определяется значение функции в точке пересечения и из найденной точки проводится новая хорда. Этот процесс повторяется до получения необходимой точности.

Формула для n-го приближения имеет вид(х0=а , xn-1=b,xn=x):

В методе хорд условием окончания итераций является:

- условие близости двух последовательных приближений :

;

- условие малости невязки

(величина F(xn) есть невязка, полученная на n-й итерации, а -число , с заданной точностью которого необходимо найти решение).

1.2 Метод Ньютона(метод касательных)

Его отличие от предыдущего метода состоит в том , что на n-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y =F(x) при х=cn-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения , а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х.

Рисунок 2. Метод касательных

Уравнение касательной, проведенной к кривой y =F(x) в некоторой точке с координатами х0 и F(х 0) имеет вид

y-F(х0)=F’(х0)(x-х0).

Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):

х=х0 - F(х0) /F’(х0).

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных . Формула для n-го приближения имеет вид

хn=хn-1 - F(хn-1) /F’(хn-1), n=1,2,…

При этом необходимо , чтобы выполнялось условие F’(хn-1)

0.

Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.

1.3 Практическое применение метода хорд для решения уравнений

Возьмем для исследования функцию

и определим точность решения как =0,001.

Рисунок 3. График функции

(в разных пределах)

Визуально определяем границы отрезка, на котором находится корень. Выделяем отрезок [a,b], (а=-0,1, b=0.35).

Прежде чем начать итерационный процесс, необходимо проверить функцию на данном отрезке на ряд условий:

Проверяем существование корня на отрезке по условию

f(-0.1)=-1.571

f(0.35)=1.51037

-2,37280.4954<0

Условие выполнено, следовательно на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность на отрезке :

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Проверяем функцию на единственность корня на отрезке.

43.74>0

На данном промежутке имеется только один корень.

4. Выбор точки х0 зависит от того совпадает ли её знак со знаком второй производной данной функции.

Точка а условию не удовлетворяет.

Из условия следует , что х0=b=0.35, тогда за х1 принимаем a = х1=-0.1

6. Формула для решения