Коэффициент вариации меньше 33%, следовательно, совокупность является однородной, а средняя - типичной и устойчивой.
На основании аналитической группировки задачи 1 вычислить общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий. Определите корреляционное отношение по выработке одного рабочего. Сделайте выводы.
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию и рассчитывается по формуле:
где - общая средняя по всей совокупности.
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:
Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:
Закон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий.
Для решения задачи сначала определим средние по каждой группе. Расчет средних выполнен в табл.5.
Промежуточные расчеты дисперсий по группам представлены в табл.5.
Таблица 5. - Расчет данных для определения внутригрупповых дисперсий.
Подставив полученные значения в формулу, получим:
= (501 × 4) /10 = 200,4
= (4503,3 × 6) /10 = 2701,98
Средняя из групповых дисперсий:
= (200,4 ×4+2701,98×6): 10 = (801,6 + 16211,88) / 10 = 1701,348
= [ (147,5-145) 2×4+ (143,3 -145) 2×6]: 10 = (25 + 17,34) /10= 4,234
Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Средняя (общая) по всей совокупности равна 132,93 шт. (см. табл.2).
Таким образом, общая дисперсия согласно правилу сложения дисперсий:
σ2общ2=δ2+ σ2=1701,348+4,234 = 1705,582
На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками, который называется корреляционным отношением:
Величина 0,04982 показывает отсутствие связи между группировочным и результативным признаками.
Коэффициент детерминации η2 равен:
η2=0,049822 = 0,0024820324 или 0,2482%
Он показывает, что вариация выработки на 0,2482% зависит от стажа и на 99,7518% (100% - 0,2482%) от других неучтенных факторов.
Задача 6
По исходным данным задачи 2 и результатам вычислений задачи 3, 4 установите:
с вероятностью 0,954 возможные пределы средней выработки в генеральной совокупности;
с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса численности рабочих, имеющих выработку выше средней;
сколько необходимо отобрать рабочих, чтобы с вероятностью 99,7% предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?
РЕШЕНИЕ:
Средняя ошибка выборки определяется по формуле:
где k-коэффициент выборочного наблюдения (по условию задачи 10% или 0,1)
Предельная ошибка выборки определяется по формуле:,
где t - коэффициент доверия (для вероятности 0,954 равен 2)
Определим предельную ошибку средней выработки:
Δ х= = = 11,04 шт.
Найдем границы изменения средней величины в генеральной совокупности:
145,7 -11,04< <145,7+11,04; 134,66 < <156,74
Вывод:
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя выработка одного Рабочего в генеральной совокупности находится в пределах от 134,66 шт.д.о 156,74 шт. (не ниже 134,66 шт., но не выше 156,74 шт)
2. Определим удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней (145,7 шт.). Таких рабочих 5 человек. Тогда удельный вес их в общей численности составит:
W = 5/10 = 0,5
Рассчитаем предельную ошибку доли в случае механического отбора по формуле:
где w-удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней;
n-объем выборочной совокупности;
t - коэффициент доверия (t=3 для вероятности 0,997).
=3•0,15=0,45 или 45%
Найдем границы изменения доли в генеральной совокупности:
p=w±Δp
p=0,5±0,45
0,5-0,45<Р<0,5+0,45;
0,05 <Р< 0,95
5%<Р<95%
Вывод:
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней, колеблется от 5% до 95%. В генеральной совокупности.
3. Рассчитаем необходимую численность рабочих:
n= (t2•Vσ2): Δ2,t- коэффициент доверия (для вероятности 99,7% равен 3);
Vσ- коэффициент вариации (12,627% - результат решения задачи 4);
Δ2- относительная погрешность, %; (по условию задачи равна 5%).
n=9• (12,627) 2/25=57,399 ≈ 58 чел.
С вероятностью 99,7% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 5%, должна составлять не менее 58 чел.
Задача 7
Имеются данные о стаже работы рабочих и их выработке (приложения А, графа *, Б-графа *).
Составьте линейное уравнение регрессии, вычислите его параметры, рассчитайте коэффициенты корреляции и эластичности. По полученному уравнению регрессии рассчитайте теоретические (выравненные) уровни. Результаты расчетов оформите в виде таблицы. Сделайте выводы.
РЕШЕНИЕ:
Уравнение связи в случае линейной зависимости имеет вид:
ух=а0+а1х
Параметры уравнения а0 и а1 определяют методом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему уравнений:
na0+a1∑x=∑y;a0 ∑x+ a1∑x2=∑xy.
Расчет необходимых данных выполним в табл.6
Подставим полученные данные в систему уравнений:
10а0+39а1=145039а0+247а1=5557
а0=149,02741; а1= - 1,03267
Уравнение связи между стажем и выработкой имеет вид:
ух = 149,02741 - 1,03267х
Таблица 6. - Расчет данных для уравнения регрессии
Интерпретация полученного уравнения связи:
где - общая средняя по всей совокупности.
