Статистические расчеты содержания влаги (стр. 3 из 4)

2.2. Автокорреляция уровней временного ряда.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией. Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми во времени.

Одна из рабочих формул для расчёта коэффициента корреляции имеет вид:

r_xy = å(x_j -`x) * (y_j -`y) .

Öå(x_j -`x)² * å(y_j -`y)²

В качестве переменной x мы рассмотрим ряд y₂, y₃, ... y_t ; в качестве переменной y рассмотрим ряд y₁, y₂, ... y_t_-1. Тогда данная формула примет вид:

r₁ = å(y_t -`y₁) * (y_t-1 -`y₂) ; где `y₁ = åy_t ; `y₂ = åy_t-1 .

Öå(y_t -`y₁)² * å(y_t-1 -`y₂)² n - 1 n - 1

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Свойства коэффициента автокорреляции:

-во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной тенденции.

-во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости её значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать вывод: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

2.3. Моделирование тенденции временного ряда.

Одним из наиболее распространённых способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Т.к. зависимость от времени может принимать разные формы, для её формализации можно использовать различные виды функции. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

-линейный тренд: `y_t = a + b*t ;

-гипербола:`y_t = a + b/t ;

-экспоненциальный тренд: `y_t = e ^a⁺^b^*^t ;

-тренд в форме степенной функции: `y_t = a*t^b ;

-парабола: `y_t = a + b₁*t + b₂*t² + ... + b_k*t^k ;

Параметры каждого из этих трендов можно определить методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, ... ,n , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространённых способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчёт некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляция первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y_t_-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит не6линейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков свидетельствуют о том, что ряд содержит тенденцию. Приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням этого ряда и по логарифмам уровней позволяют сделать следующий вывод: если ряд содержит нелинейную тенденцию, то она выражена в неявной форме. Поэтому для моделирования его тенденции в равной мере целесообразно использовать и линейную, и нелинейную функции, например степенной или экспоненциальный тренд. Для выявления наилучшего уравнения тренда необходимо определить параметры основных видов трендов.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов. Параметры линейного тренда:

a - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;

b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Расчётные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения t = 1, 2, ..., n. Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста.

Задача №1

Десять человек различного возраста имеют следующие параметры:

Возраст, лет	18	20	21	22	22	24	25	26	31	39
Рост, см	174	183	182	180	178	179	185	185	184	182
Вес, кг	65	73	69	74	77	75	78	84	79	79

1. Определить результативный признак.

2. Рассчитать парные и частные коэффициенты корреляции. Сделать выводы.

Рассчитаем зависимость роста от возраста:

Фактор (X): возраст.

Результативный признак (Y): рост.

№	X	Y	X*Y	X2	Y2	Yx	Y-Yx	(Y-Yx)2	. (X – X)2
1	18	174	3132	324	30276	179.50	-5.50	30.25	46.24
2	20	183	3660	400	33489	180.00	3.00	9.00	23.04
3	21	182	3822	441	33124	180.25	1.75	3.06	14.44
4	22	180	3960	484	32400	180.50	-0.50	0.25	7.84
5	22	178	3916	484	31684	180.50	-2.50	6.25	7.84
6	24	179	4296	576	32041	181.00	-2.00	4.00	0.64
7	25	185	4625	625	34225	181.25	3.75	14.06	0.04
8	26	185	4810	676	34225	181.50	3.50	12.25	1.44
9	31	184	5704	961	33856	182.75	1.25	1.56	38.44
10	39	182	7098	1521	33124	184.75	-2.75	7.56	201.64
S	248	1812	45023	6492	328444	1812	0.00	88.24	341.6

Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:

n*a + b*åx = åy

a*åx + b*åx² = åx*y

10*a + 248*b = 1812

248*a + 6492*b = 45023

a = 1812 - 248*b => 1812 – 248*b *248 + 6492*b = 45023

10 10

b = 0.25

a = 175

r = åx*y – (åx*åy)/n = 45023 – (248*1812)/10 =>

Ö(åx² – (åx)²/n)*(åy² – (åy)²/n) Ö(6492 – 248²/10)*(328444 – 1812²/10)

r = 0.44 - прямая умеренная связь

r² = 0.19 - рост на 19% зависит от возраста

Тест Фишера: