Статистическое моделирование (стр. 2 из 5)
М 
= 
q .(22.1)
Если равенство (22.1) не выполняется, то оценка может либо завышать значение q (М > q ), либо занижать его (М < q ) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.
· 2. Оценка параметра q называется состоятельной , если она подчиняется закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании числа опытов (наблюдений ) и, следовательно, выполняется следующее равенство:
,(22.2)
где e > 0 сколько угодно малое число.
Для выполнения (22.2) достаточно, чтобы дисперсия оценки стремилась к нулю при 
, т.е.
(22.3)
и кроме того, чтобы оценка была несмещенной. От формулы (22.3) легко перейти к (22.2) , если воспользоваться неравенством Чебышева.
Итак, состоятельность оценки означает, что при достаточно большом количестве опытов и со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра меньше любой наперед заданной величины. Этим оправдано увеличение объема выборки.
Так как - случайная величина, значение которой изменяется от выборки к выборке, то меру ее рассеивания около математического ожидания q будем характеризовать дисперсией D . Пусть 
и 
- две несмещенные оценки параметра q, т.е. M = q и M = q , соответственно D и D и, если D 
< D 
, то в качестве оценки принимают .
· 3. Несмещенная оценка , которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра q, вычисленных по выборкам одного и того же объема , называется эффективной оценкой.
На практике при оценке параметров не всегда удается удовлетворить одновременно требованиям 1, 2, 3. Однако выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение со всех точек зрения. При выборке практических методов обработки опытных данных необходимо руководствоваться сформулированными свойствами оценок.
4. Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке
Наиболее важными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего оценивают математическое ожидание и дисперсию в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности.
Теорема 23.1. Арифметическая средняя 
, вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной x, которая имеет математическое ожидание Mx = m, является несмещенной оценкой этого параметра.
Доказательство.
Пусть 
- n независимых наблюдений над случайной величиной x. По условию Mx = m, а т.к. 
являются случайными величинами и имеют тот же закон распределения, то тогда 
. По определению средняя арифметическая
.(23.1)
Рассмотрим математическое ожидание средней арифметической. Используя свойство математического ожидания, имеем:
,
т.е. 
. В силу (22.1) является несмещенной оценкой.
Теорема 23.2. Арифметическая средняя 
, вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной x, которая имеет Mx = m и 
, является состоятельной оценкой этого параметра.
Доказательство.
Пусть - n независимых наблюдений над случайной величиной x. Тогда в силу теоремы 23.1 имеем Mx = 
.
Для средней арифметической запишем неравенство Чебышева:
.
Используя свойства дисперсии 4,5 и (23.1), имеем:
,
т.к. по условию теоремы 
.
Следовательно,
.(23.2)
Итак, дисперсия средней арифметической в n раз меньше дисперсии случайной величины x. Тогда
,
поэтому
,
а это значит, что является состоятельной оценкой.
Замечание: 1. Примем без доказательства весьма важный для практики результат. Если x Î N (a, s), то несмещенная оценка математического ожидания a имеет минимальную дисперсию, равную 
, поэтому 
является эффективной оценкой параметра а.
Перейдем к оценке для дисперсии и проверим ее на состоятельность и несмещенность.
Теорема 23.3. Если случайная выборка состоит из n независимых наблюдений над случайной величиной x с
Mx = m и Dx = 
, то выборочная дисперсия
(23.3)
не является несмещенной оценкой Dx - генеральной дисперсии.
Доказательство.
Пусть 
- n независимых наблюдений над случайной величиной x. По условию 
и 
для всех 
. Преобразуем формулу (23.3) выборочной дисперсии:
Упростим выражение
.
Принимая во внимание (23.1), откуда
можно записать
Тогда
Теперь рассмотрим 
- математическое ожидание выборочной дисперсии:
