Статистическое моделирование (стр. 4 из 5)
интервал доверия имеет вид (26.32; 28.68).
Теперь поставим вопрос иначе: сколько детей надо обследовать с тем, чтобы среднее число часов в неделю, проводимых ребенком у телевизора, отклонилось от его оценки не более чем на 0,5 ч. с вероятностью 0,95?
В такой постановке речь идет о нахождении числа n таким, чтобы выполнялось равенство
,
откуда 
или n = (2sZ0.475)2.
В условиях примера n = (2×6×1,96)2 @ 553.
Разумеется, при больших значениях n ширина доверительного интервала уменьшится.
Заметим, что по сравнению с первоначальной задачей ширина интервала уменьшилась в 1,18/0,5 = 2,36 раз, количество необходимых испытаний увеличилось в (2,36)2 = 5,57 раз ( 553 отличается в третьем знаке от 100 × 5,57).
Пример 24.3. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.
Снова рассмотрим генеральную совокупность x, распределенную нормально с параметрами (q,s2), однако теперь считаем дисперсию s2 неизвестной.
Обозначим 
стандартное выборочное квадратичное отклонение
.
В курсах теории вероятностей доказывается, что случайная величина
подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с n - 1 степенью свободы и её плотность имеет вид
,
где Кn некоторая нормирующая константа.
Созданы таблицы , дающие возможность вычислять вероятности вида
(см. прил. 4).
Ввиду вышесказанного, получаем равенства:
,
из которых видно, что выбрав Z как корень уравнения
( обозначим этот корень 
), приходим к доверительному интервалу для q вида
.
Пример 24.4. Рассмотрим вопрос о построении доверительного интервала для неизвестного количества времени в течение недели, проводимого ребенком у экрана телевизора, сохранив все данные примера 24.2, считая теперь, что 6ч. есть оценка выборочного среднеквадратического отклонения, 
.
По таблице распределения Стьюдента (см. приложение 4) находим 
, границы интервала будут
,
а сам интервал (25,92; 29,08).
Замечаем, что интервал стал шире, что объясняется уменьшением объема имеющейся информации из-за незнания ещё одного параметра генеральной совокупности.
6. Методы получения оценок
До сих пор мы считали, что оценка неизвестного параметра известна и занимались изучением ее свойств с целью использования их при построении доверительного интервала. В этом параграфе рассмотрим вопрос о способах построения оценок.
Методы правдоподобия
Пусть требуется оценить неизвестный параметр 
, вообще говоря, векторный, 
. При этом предполагается, что вид функции распределения известен с точностью до параметра ,
.
В таком случае все моменты случайной величины x становятся функциями от 
:
.
Метод моментов требует выполнения следующих действий:
1. Вычисляем k «теоретических» моментов
.
2. По выборке 
строим k одноименных выборочных моментов. В излагаемом контексте это будут моменты
3. Приравнивая «теоретические» и одноименные им выборочные моменты, приходим к системе уравнений относительно компонент оцениваемого параметра
(25.1)
4. Решая полученную систему (точно или приближенно), находим исходные оценки 
. Они, конечно, являются функциями от выборочных значений 
.
Мы изложили порядок действий, исходя из начальных - теоретических и выборочных - моментов. Он сохраняется при ином выборе моментов, начальных, центральных или абсолютных, который определяется удобством решения системы (25.1) или ей подобной.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 25.1. Пусть случайная величина x распределена равномерно на отрезке [ a ;b ] , где 
- неизвестные параметры. По выборке ( 
) объема n из распределения случайной величины x. Требуется оценить a и b .
Решение.
В данном случае распределение определяется плотностью
1) Вычислим первые два начальных «теоретических» момента:
2) Вычислим по выборке два первых начальных выборочных момента
3) Составим систему уравнений
4) Из первого уравнения выразим a через b
и подставим во второе уравнение, в результате чего придём к квадратному уравнению
решая которое, находим два корня
.
Соответствующие значения a таковы
.
Поскольку по смыслу задачи должно выполнятся условие a < b , выбираем в качестве решения системы и оценок неизвестных параметров
.
Замечая, что 
есть не что иное, как выборочная дисперсия 
, получаем окончательно
.
Если бы мы выбрали в качестве «теоретических» моментов математическое ожидание и дисперсию, 
, то пришли бы к системе (с учетом неравенства a < b)
которая линейна и решается проще предыдущей. Ответ, конечно, совпадает с уже полученным.
Наконец, отметим, что наши системы всегда имеет решение и при том единственное. Полученные оценки, конечно, состоятельны, однако свойствам несмещенности не обладают.
7. Метод максимального правдоподобия
Изучается, как и прежде, случайная величина x, распределение которой задается либо вероятностями её значений 
, если x дискретна, либо плотностью распределения 
, если x непрерывна, где 
- неизвестный векторный параметр. Пусть ( 
) - выборка значений x. Естественно в качестве оценки 
взять то значение параметра, при котором вероятность получения уже имеющейся выборки максимальна.
Выражение
называют функцией правдоподобия, она представляет собой совместное распределение или совместную плотность случайного вектора с n независимыми координатами, каждая из которых имеет то же распределение (плотность), что и x.