Численные методы вычисления интегралов (стр. 2 из 3)

(20)

называемой формулой Ромберга, построим

- схему:

(21)

Оказывается, что для интегрируемых по Риману функций, все столбцы и строки

- схемы сходятся к исходному значению интеграла.

Пример: Выписать явные формулы для фрагмента

- схемы:

Решение:

Пусть

Тогда

3. Квадратурные формулы Гаусса

Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах, получаемых методом Ромберга, используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря, смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать, что при

гауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени

(22)

Для количества узлов и соответствующих значений

- составлены таблицы, которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).

Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.

Пример:

Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами

,по которой точно интегрируются многочлены до

степень включительно.

Решение: Искомая формула имеет вид:

,(23)

где

- остаток, который обращается в нуль, для

, при

Тогда, подставляя в (23) имеем:

(24)

Отсюда, приравнивая коэффициенты при

, справа и слева, получаем систему уравнений:

(25)

Ее решение имеет вид:

(26)

Следовательно, искомая квадратурная формула такова:

.(27)

Ясно, что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками, действуем следующим образом:

а) промежуток интегрирования

делим на

- равных промежутков и на каждом маленьком промежутке

применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);

б) полученные результаты складываем.

В случае, когда

, оказывается, что узловыми точками при делении отрезка на

- частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.

Для вычисления кратных интегралов, их сводят обычно к повторным интегралам, а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек, что и в одномерном случае. Однако, надо иметь в виду, что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.

Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.

4. Оценка интегралов

При численном интегрировании наряду с приближёнными формулами представляет также интерес нахождение нижних и верхних границ интегралов. Рассмотрим два метода оценки интегралов:

а) оценка интеграла в случае, когда подинтегральная функция

, удовлетворяет условию:

для

(28)

б) общий случай.

Рассмотрим интеграл:

(29)

где

. Не умоляя общность, будем считать, что

, тогда (Рис. 1) ясно, что

К Е

Рис. 1

Площадь криволинейной трапеции

заключена между площадями aMNb и aKEb, т.е.

(30)

Очевидно, что

(31)

(32)

Таким образом, для оценки интеграла в случае

, имеем:

(33)

если же

, неравенство (33) заменяется на обратное.

б) Другой принцип грубой, но зато общей оценки значения интеграла, основан на «монотонности» интеграла. При этом способе подынтегральную функцию приближают снизу и сверху интегрируемыми в замкнутом виде функциями

, т.е.