2.
3.
4.
Каждому элементу
Введем в рассмотрение три нормы для
При этом выполняются следующие неравенства:
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1.
2.
3.
Говорят, что последовательность элементов
а именно,
или
если
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве
Множество элементов
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4
4.4
4.4
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего
где
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора)
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в
или F(x) = 0,
где
Функция
Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел
Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:
или
где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий
Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке
или
где
Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в
или
где
Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).
Функции
3. Отделение решений
Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.
Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.
Так, если дано скалярное уравнение
Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.