Численные методы для решения нелинейных уравнений (стр. 2 из 4)
2.
,3.
,4.
, если 
существует.Каждому элементу
ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом 
и называемое нормой элемента 
.Введем в рассмотрение три нормы для
: 
, 
, 
.При этом выполняются следующие неравенства:
.Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1.
, причем 
, лишь если 
,2.
,3.
.Говорят, что последовательность элементов
сходится к элементу 
,а именно,
,или
,если
.Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве
называется сходимостью по норме.Множество элементов
, удовлетворяющих неравенству 
называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве 
с центром в точке 
и обозначается 
.Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом
и называемое нормой линейного оператора 
.Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4
, причем 
, лишь если 
– нулевая матрица,4.4
,4.4
.Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего
в : 
, 
, 
,где
i-ое собственное значение матрицы 
.Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора)
в смысле условия 
.2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в
имеет вид: 
(2)или F(x) = 0,
где
– заданные функции n переменных, 
– неизвестные.Функция
при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел
, которые, будучи подставлены на место неизвестных 
, обращают каждое уравнение системы в тождество.Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:
или
,где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий
в 
Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке
вида 
(2 
)или
,где
– квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно 
, вычисленных точке 
.Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в
, а именно: 
(3)или
,где
.Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).
Функции
удовлетворяют тем же условиям, что и функции 
.3. Отделение решений
Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.
Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.
Так, если дано скалярное уравнение
, то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.