Численные методы для решения нелинейных уравнений (стр. 3 из 4)
Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.
Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.
Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.
Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений
, 
.В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных
и 
. Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.4. Методы решения нелинейных уравнений
4.1 Метод простой итерации
Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.
Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).
Затем, взяв начальное приближение
, которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность 
(4) по следующим формулам
(5) Замечание. Для приведения системы уравнений (2) к виду (3) можно использовать прием:
где
– релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.4.2 Метод Зейделя
Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:
(6)Иными словами, при вычислении
используются не 
, как в методе простой итерации, а 
.4.3 Метод Ньютона
Этот метод (см.[1], [4]) предложен И.Ньютоном в 1669 году, однако наиболее полное обоснование было сделано советским математиком Л.В.Канторовичем в 1949 году (см.[4]), поэтому в литературе этот метод часто называют методом Ньютона-Канторовича.
Метод Ньютона является одним из итерационных методов, получаемых линеаризацией линейного оператора
,где
из уравнения (2).Так, для к-го приближения
к точному решению 
уравнения (2) ставится в соответствие линеаризованное уравнение вида (2 
), а именно: 
или
,где
– квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, 
т.е. 
, вычисленных в точке 
.Таким образом, последовательность (4) строится по следующим правилам:
(),
где
– обратный оператор к линейному оператору 
, определяемому квадратной матрицей 
Трудности построения алгоритма метода Ньютона, связанные с обращением производной
(построение 
), обычно преодолеваются тем, что вместо методов обращения матрицы 
решают алгебраическую систему уравнений (7) относительно неизвестных 
. Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений хорошо отработаны, для них имеются стандартные программы для ЭВМ и, кроме того, в результате решения системы одновременно с обращением матрицы получается умножение обратной матрицы на вектор 
.Итерационная формула метода Ньютона при таком подходе будет иметь вид:
(7) 
. (8)4.4 Модифицированный метод Ньютона
Эта разновидность метода Ньютона строится путем определения производной только в одной точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам:
, (9)где
– начальное приближение к точному решению 
.4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения
Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2) на основе линеаризованного уравнения (7) имеет вид:
4.6 Метод наискорейшего спуска
Методы спуска (см. [2]) сводят решение системы (2) к задаче нахождения минимума специально построенного функционала (функционал – отображение
в R), а именно: 
,где
.Функционал в конечном пространстве Rn можно рассматривать как функцию многих переменных
.Для нахождения точки
, в которой функционал f принимает минимальное нулевое значение, выбирают точку 
, находят 
и строят итерационную формулу: 
с начальным приближением 
.В итерационной формуле параметр hk пока не определен, выберем его таким образом, чтобы выполнилось условие:
, начиная с x0, в предположении, что f – монотонный функционал.Для выбора hk построим функционал, зависящий от параметра, который изменяется непрерывно:
.При h=0 имеем, что f (0) – линия уровня функционала, проходящая через точку xk . Для нахождения следующей линии уровня, более близкой к минимуму, будем выбирать h таким образом, чтобы для данного xk
Это условие минимума по h будем рассматривать как уравнение для получения hk.
Решим его приближенно, т.к. ошибка в несколько процентов обычно не влияет на скорость сходимости. Отметим кстати, что число hk всегда должно быть положительным. Для этого разложим функцию
в ряд Тейлора по h в точке h=0 и возьмем только линейную часть этого разложения 
.Подстановка линейной части в условие
, дает уравнение для приближенного определения 
.Решая построенное уравнение относительно h, получим: