Численные методы для решения нелинейных уравнений (стр. 4 из 4)
или 
.Таким образом, итерационная формула метода наискорейшего спуска имеет вид:
или 
, где производные 
вычислены в точке 
.Метод наискорейшего спуска требует большего количества вычислений, чем другие методы первого порядка. Однако он обладает по сравнению с другими методами важным преимуществом, заключающемся в неизбежной сходимости процесса. При этом нужно помнить, что метод наискорейшего спуска может привести не к решению системы уравнений (2), а к значениям аргумента, дающим относительный экстремум функции
, т.е. 
.5. Сходимость методов решения нелинейных уравнений
Если метод сходится, то есть
, где 
– точное решение 
– k-тое приближение к точному решению, то итерационный процесс следовало бы закончить по достижению заданной погрешности 
, где e – заданная точность (погрешность).Однако практически это условие выполнить нельзя, так как
неизвестно, тогда для окончания итерационного процесса можно воспользоваться неравенствами 
, или 
, где 
и 
– заданные величины.При таком окончании итераций погрешность может возрасти по сравнению с
и, поэтому, чтобы не увеличивалась, величины и соответственно уменьшают или увеличивают число итераций.Методы простой итерации, Зейделя, модифицированный метод Ньютона, метод наискорейшего спуска (см. [1], [2], [3], [4]) являются методами первого порядка – это значит, что имеет место неравенство
, k=1, 2, . . . , где 
– константа, своя у каждого метода, зависящая от выбора начального приближения 
, функции fi , i = 1, 2, . . . , n, и их частных производных первого и второго порядков – точнее их оценок в некоторой окрестности искомого решения, которой принадлежит начальное приближение.Метод Ньютона является методом второго порядка, то есть для него имеет место неравенство
, k=1, 2, . . . , где 
– константа, зависящая от тех же величин, что и константа 
.А теперь рассмотрим достаточные условия сходимости метода простой итерации и метода Ньютона.
Сходимость процесса простой итерации зависит от двух условий. Первое условие состоит в том, что какая-нибудь точка
должна оказаться близкой к исходному решению 
. Степень необходимой близости зависит от функций j1, j2, . . . , jn . Это требование не относится к системам линейных уравнений, для которых сходимость процесса простой итерации зависит только от второго условия.Второе условие связано с матрицей, составленной из частных производных первого порядка функций j1, j2, . . . , jn – матрицей Якоби
,вычисленных в точке
.В случае, когда рассматривается система линейных алгебраических уравнений, матрица M состоит из постоянных чисел – коэффициентов, стоящих при неизвестных в правой части уравнения (3). В случае нелинейных уравнений элементы
матрицы M зависят, вообще говоря, от 
. Для сходимости процесса простой итерации достаточно, чтобы выполнялось неравенство: 
для 
из некоторой окрестности точного решения , которой должно принадлежать начальное приближение .Приведем также достаточные условия сходимости метода Ньютона для системы уравнений вида (2) по норме
.Предположим, что имеется начальное приближение
к искомому решению системы (2) 
, функции 
непрерывны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка в шаре 
, тогда, если выполнены условия:1) Матрица Якоби
системы (2) на начальном приближении имеет обратную 
и известна оценка нормы обратной матрицы 
,2) Для всех точек шара
выполнено неравенство 
при i, j = 1, 2, . . . , n ,3) Выполнено неравенство
,где L – постоянная 0 £ L £ 1,
4) Числа b, N, r подчинены условию a = nbNr < 0,4, тогда система уравнений (2) в шаре
имеет единственное решение, к которому сходятся последовательные приближения (8) или (7’), (9’).Для других методов условия сходимости имеют сложный вид, и мы отсылаем читателя к специальной литературе [1], [2], [3], [4].
6. Примерный перечень возможных исследований
1) Сравнение различных методов на экономичность при решении конкретной задачи:
· по числу операций на одной итерации;
· по числу итераций, необходимых для достижения заданной точности;
2) Зависимость числа итераций для достижения заданной точности:
· от выбора вида нормы;
· от выбора критерия окончания итерационного процесса по
или по невязке ;· от выбора начального приближения;
· от погрешности задания коэффициентов в уравнении.
7. Контрольные вопросы
1) Понятие о нелинейных системах уравнений в Rn.
2) Понятие приближенного и точного решения нелинейной системы уравнений.
3) Сущность графического метода отделения решения для системы двух нелинейных уравнений, каковы его преимущества и недостатки?
4) Сущность метода простой итерации и метода Зейделя. Каковы условия применимости метода простой итерации?
5) Сущность метода Ньютона и его модификации. Какова скорость сходимости метода Ньютона?
6) Сущность метода наискорейшего спуска. Как выбирается параметр спуска?
8. Порядок выполнения курсовой работы
1) Получить вариант задания, индивидуальный для каждого студента, у преподавателя, а именно:
Найти решение системы нелинейных уравнений в первой координатной четверти с номером – N1 (см. варианты заданий п.10), применив для первого этапа уточнения метод с номером – N2, а для второго этапа уточнения метод с номером – N3 , точность вычислений на первом этапе – EPS1Î[0.1 – 0.01], на втором этапе – EPS2 Î [0.1 - 0.0001], N4 – номер нормы, I – номер параметра a, J – номер параметра b, начальное приближение выбрать произвольно или графически, aÎ(0,1).
2) Разработать обязательные для выполнения задания разделы данных методических указаний.