Численные методы для решения нелинейных уравнений (стр. 1 из 4)

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания

к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»

для студентов всех специальностей

под контролем преподавателя

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2008

Введение

Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.

Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.

Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.

Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.

В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]

Численные методы для решения нелинейных уравнений

Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.

1. Определения и условные обозначения

– конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из упорядоченных действительных чисел, например:

где

– действительные числа, .

В

введена операция сложения элементов, т. е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:

1.

,

2.

,

3.

, что (элемент называется нулевым),

4.

, что (элемент называется противоположным элементу ).

В

введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:

1.

,

2.

Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:

1.

,

2.

.

Каждой паре элементов

поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением, где

и выполнены следующие условия:

1.

,

2.

,

3.

,

4.

, причем – нулевой элемент.

Матрица

вида

, (1)

где

– действительные числа ( , ) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для

,

где

.

Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве

, вводятся следующие операции:

1. сложение операторов

, при этом, если , то ,

2. умножение операторов на числа:

при этом, если , то ,

3. умножение операторов:

, при этом, если , то .

Обратным к оператору

называется оператор такой, что , где – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,

.

Пусть число

и элемент , таковы, что .

Тогда число

называется собственным числом линейного оператора , а элемент – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .

Линейный оператор

называется сопряженным к оператору , если для любых элементов выполняется равенство .

Для всякого оператора

сопряженный оператор существует, единствен; если , то .

Справедливы равенства:

1.

,