Численные методы решения типовых математических задач (стр. 1 из 8)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Тульский государственный университет
Кафедра автоматики и телемеханики
Численные методы решения типовых математических задач
Курсовая работа
по дисциплине «Вычислительная математика»
Выполнил студент группы _____________
(подпись)
Проверил _____________
(подпись)
Тула 2008г.
Содержание
Введение
1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации
1.1 Постановка задачи
1.2 Математическая формулировка задачи
1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
1.4 Численный метод решения задачи
1.5 Схема алгоритма
1.6 Текст программы
1.7 Тестовый пример
2. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями
2.1 Постановка задачи
2.2 Математическая формулировка задачи
2.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
2.4 Численный метод решения задачи
2.5 Схема алгоритма
2.6 Текст программы
2.7 Тестовый пример
3. Среднеквадратическое приближение функции
3.1 Постановка задачи
3.2 Математическая формулировка задачи
3.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
3.4 Численный метод решения задачи
3.5 Схема алгоритма
3.6 Текст программы
3.7 Тестовый пример
4. Численное интегрирование функций методом Гаусса
4.1 Постановка задачи
4.2 Математическая формулировка задачи
4.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
4.4 Численный метод решения задачи
4.5 Схема алгоритма
4.6 Текст программы
4.7 Тестовый пример
Заключение
Список использованных источников
Введение
Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.
В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание,— вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Поясним существо этого способа исследования на примере решения какой-либо физической проблемы. Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т. е. решение вопроса о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. После этого проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента.
Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики — вычислительной математики.
Вычислительную математику определяют в широком смысле этого термина как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле — как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.
Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е. указать последовательность арифметических и логических действий, выполняемых па ЭВМ и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.
При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возникающая погрешность? Можно выделить три основные причины возникновения погрешности при численном решении исходной математической задачи. Прежде всего, входные данные исходной задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всегда задаются с некоторой погрешностью. Погрешность численного метода, обусловленную неточным заданием входных данных, принято называть неустранимой погрешностью. Далее, при замене исходной задачи дискретной задачей возникает погрешность, называемая погрешностью дискретизации или, иначе, погрешностью метода. Наконец, конечная разрядность чисел, представляемых в ЭВМ, приводит к ошибкам округления, которые могут нарастать в процессе вычислений
Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов — дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.
1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации
1.1 Постановка задачи
Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации.
1.2 Математическая формулировка задачи
Пусть А – невырожденная матрица
и нужно решить систему 
где диагональные элементы матрицы А ненулевые.
1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи
Метод Гаусса
В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные.
Пусть дана СЛАУ
Запишем расширенную матрицу системы:
На первом шаге алгоритма Гаусса выберем диагональный элемент (если он равен 0, то первую строку переставляем с какой-либо нижележащей строкой) и объявляем его a11≠0 ведущим, а соответствующую строку и столбец, на пересечении которых он стоит - ведущими. Обнулим элементы ведущего столбца. Для этого сформируем числа (-a22/a11), (-a31/a11), .. , (an1/a11).
LU-разложения матриц
Компьютерная реализация метода Гаусса часто осуществляется с использованием LU-разложения матриц.
LU – разложение матрицы A представляет собой разложение матрицы A в произведение нижней и верхней треугольных матриц, т.е.
A=LU
где L - нижняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся выше главной диагонали равны нулю, lij=0 при i>j), U- верхняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю, uij=0 при i>j).
LU – разложение может быть построено с использованием описанного выше метода Гаусса. Рассмотрим k - ый шаг метода Гаусса, на котором осуществляется обнуление поддиагональных элементов k - го столбца матрицы. Как было описано выше, с этой целью используется следующая операция
В терминах матричных операций такая операция эквивалентна умножению A(k)=MkA(k-1), где элементы матрицы определяются следующим образом
В терминах матричных операций такая операция эквивалентна умножению A(k)=MkA(k-1), где элементы матрицы определяются следующим образом
В результате прямого хода метода Гаусса получим , A(n-1)=U
где A(n-1)=U - верхняя треугольная матрица, а - нижняя треугольная матрица, имеющая вид .
Таким образом, искомое разложение A=LU получено.
Метод прогонки
Метод прогонки является одним из эффективных методов решения СЛАУ с трех - диагональными матрицами, возникающих при конечно-разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных второго порядка и является частным случаем метода Гаусса. Рассмотрим следующую СЛАУ:
решение которой будем искать в виде
где Qi,Pi,i=1,n - прогоночные коэффициенты, подлежащие определению. Для их определения выразим из первого уравнения СЛАУ (1.1) x1 через x2, получим:
откуда
Из второго уравнения СЛАУ (1.1) с помощью (1.3) выразим x2 через x3, получим: