По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при
При
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости
При
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
Пусть
Определение 3.1. Рядом Тейлора функции в точке
называется степенной ряд
В частном случае при
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна
.
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале функция
имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е.
, то ряд Тейлора этой функции сходится к
для любого х из этого интервала
, т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении
Все производные функции
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
2.
Отсюда следует, что при
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
3.
| (3.6) |
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4.
Если
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
|