Теорема Гурвица и ее приложение (стр. 5 из 7)

Таким образом, теорема Гурвица доказана. [1]

Пример 2:

Можно ответить на вопрос Гурвица в случае s=n. Это сделал сам Гурвиц в конце жизни, через 20 лет после того, как поставил свой вопрос. Ответ, оказывается, связан с представлениями алгебр Клиффорда. Ответ звучит так: формула типа (r, n, n) существует тогда и только тогда, когда число r не превосходит числа p, зависящего от n следующим образом. Пусть

-наибольшая степень двойки, на которую делится число n. Разделим на 4 с остатком. Обозначим через a неполное частное, а через b остаток. Тогда =4a+b, . Число p равно [5]

6. Приложение теоремы Гурвица

В 1878 г. Немецкий математик Г. Фробениус доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Фробениуса. Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

Впоследствии был установлен более общий результат, который можно назвать обобщенной теоремой Фробениуса.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная алгебра с делением изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.

Альтернативной алгеброй называется алгебра, в которой для любых двух элементов a, b справедливы равенства

,

.

Чтобы доказать эти теоремы, перечислим сначала некоторые свойства ассоциативной алгебры с делением.

Утверждение 1. Алгебра А содержит 1.

Утверждение 2. Если элемент

не пропорционален 1, то совокупность элементов вида образует подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Утверждение 3. Если элементы

не принадлежат одной подалгебре , то совокупность элементов вида образует подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

Доказательство теоремы Фробениуса.

Дадим сначала другое определение альтернативной алгебры.

Пусть a, b –два произвольных элемента алгебра А. Рассмотрим всевозможные произведения, составленные из них. Если каждое такое произведение не зависит от способа расстановки скобок, алгебра А называется альтернативной.

При доказательстве теоремы будем использовать второе определение альтернативности, т.е. докажем следующую теорему: Если алгебра А с делением такова, что любое произведение, составленное из двух произвольных элементов a, b, не зависит от расстановки скобок, то алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.

Доказательство утверждения 1. Найдя элемент е из уравнения xa=a и умножив обе части равенства ea=a слева на е, получим e(ea)=ea или, учитывая ее альтернативность, (ee)a=ea. Отсюда следует, что ее=е. Опять-таки в силу альтернативности имеем (be)e=b(ee) и e(ec)=(ee)c, т.е. (be)e=be и e(ec)=ec. Отсюда следует be=b и ec=c. Значит е - единица алгебры.

Другие утверждения примем без доказательства.

Попытаемся доказать, что алгебра А является нормированной. Отсюда по теореме Гурвица будет следовать нужный нам результат.

Введем в алгебре А операцию сопряжения следующим образом. Если элемент а пропорционален 1, то

. Если же а не пропорционален 1, то, согласно утверждению 2, он содержится в комплексной подалгебре . В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент , который мы и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре А.

Из определения

непосредственно вытекает , а также , где - любое.

Для вывода других свойств сопряжения нам необходимо выяснить один вопрос. Пусть элемент а не пропорционален 1. Рассмотрим какую-либо кватернионную подалгебру

, содержащую а. В этой подалгебре для а тоже имеется сопряженный элемент . Будет ли он совпадать с определенным выше элементом ? Покажем, что будет.

Элементы а и

, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям и , где t, p – действительные числа.

Элементы а и

как сопряженные в алгебре кватернионов удовлетворяют аналогичным условиям: и , где k, l – действительные числа.

Вычтем из последних равенств предыдущие, получим:

и и если , то из этих соотношений вытекает, что элемент а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Т.о., элемент, сопряженный а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры

(т.е. как комплексное число) или же как элемент какой-либо подалгебры (т.е. как кватернион).

Заметим попутно, что то же самое относится и к модулю элемента а. Поскольку

как в случае комплексных чисел, так и в случае кватернионов, то модуль элемента а не зависит от ого, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной или же кватернионной подалгебры.

Из того, что доказано нами относительно сопряжения, легко следует, что для любых двух элементов a и b алгебры А справедливы равенства

,

Действительно, если a и b принадлежат одной комплексной подалгебре (т.е.

совпадает с ), то написанные равенства суть свойства сопряжения в этой подалгебре; если же b не содержится в , то эти равенства снова справедливы – уже как свойства сопряжения в .

Из

и из вытекает, что элемент, сопряженный равен ; следовательно, , n – действительное число.

Определим в алгебре А скалярное произведение (a, b) с помощью формулы

. Что выражение (a, b) обладает всеми свойствами скалярного произведения, проверяется просто. Напомним эти свойства: