Элементы алгебры и геометрии (стр. 1 из 3)
Контрольная работа
«Элементы алгебры и геометрии»
Вариант 9
Задание № 19
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.
Найдем определитель матрицы А:
Δ(А) =
== 2 ∙ 1 ∙6 + (-3) (-2) ∙3 + 1 ∙ 1 ∙ (-2) – 1 ∙ 1 ∙ 3 – (-3) ∙ 1 ∙ 6 – 2 (-2) ∙ (-2) =
= 12 + 18 – 2 – 3 + 18 – 8 = 48 – 13 = 35
Δ(А) = 35
Найдём Δ1, Δ2, Δ3
Δ1 =
== 3 ∙ 1 ∙ 6 + (-3) (-2) ∙ 0 + 1 ∙ 4 ∙(-2) – 0 ∙1 ∙ 1 – 4 ∙ (-3) ∙ 6 – 3 (-2) (-2) =
= 18 + 0 – 8 – 0 + 72 – 12 = 90 – 20 = 70
Δ2 (А) =
== 2 ∙ 4 ∙ 6 + 3 ∙ (-2) ∙ 3 + 1 ∙ 1 ∙ 0 – 3 ∙ 4 ∙ 1 – 1 ∙ 3 ∙ 6 – 2 ∙ 0 ∙ (-2) =
= 48 – 18 + 0 – 12 -18 – 0 = 0
Δ3 =
== 2 ∙ 1 ∙ 0 + (-3) 4 ∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙(-2) – 3 ∙1 ∙ 3 – 1 ∙ (-3) ∙ 0 – 2 ∙ (-2) 4 =
= 0 – 36 – 6 – 9 + 0 + 16 = – 20 – 15 = – 35
Найдем корни:
Ответ: 2; 0; –1
Задание № 40
Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить её, если она совместна.
Запишем матрицу А и найдем ранг матрицы А:
Поменяем местами первую и вторую строки:
Первую строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:
Вычтем из второй строки – третью:
Ранг матрицы
Запишем расширенную матрицу
Найдем определитель расширенной матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:
Умножим первую строку на 3 и вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:
Вычтем из второй строки третью:
Ранг расширенной матрицы
Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).
Задание № 54
Даны координаты точек А (х1;у1) и В (х2;у2) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.
Требуется:
1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;
2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;
3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;
4) построить эллипс и окружность.
Решение:
1. Общий вид канонического уравнения эллипса:
Подставим координаты точек А и В в общее уравнение:
Подставляем найденные переменные в общее уравнение эллипса:
2. Полуоси:
3. Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8, найдем решив систему уравнений:
Получили четыре точки пересечения эллипса с окружностью:
4.
Задание № 69
Дано: вершины пирамиды АВСD
1. Записать векторы
в системе орт и найти их модули:А (3; 3; –3); В (7; 7; –5); С (5; 14; –13); D (3; 5; –2).
= (7 – 3; 7 – 3; –5 + 3) = (4; 4; –2)$ 
; 
= 
= 6; 
= (5 – 3; 14 – 3; –13 + 3) = (2; 11; –10); = 2i + 11j – 10k; 
= 15; 
= (3 – 3; 5 – 3; –2 + 3) = (0; 2; 1); = 
= 
2. Найти угол между векторами
и : 
3. Найти проекцию вектора
на вектор 
: 
Найти площадь грани АВС:
= 
; 
Найти объем пирамиды ABCD:
= 
=