Не единственность преобразований Лоренца.
Рассмотрим пространство Минковского и изотропный конус. Рассмотрим две точки М и М’ на поверхности изотропного конуса. Попробуем определить: есть ли единственность перевода точки М в точку М’, то есть, только ли известные преобразования Лоренца переводят М в М’.
Преобразования должны быть ортогональны, чтобы преобразования входили в ортогональную группу, для которой существует инвариант двух точек, то есть интервал, что дает нам право задать метрическую форму.
Рассматриваем, как получают условие ортогональности: оно начинается с рассмотрения вырожденности канонической квадратичной формы. Форма должна быть не вырожденной, тогда используется известная формула. Так как мы рассматриваем поверхность изотропного конуса, то форма у нас тождественный ноль, а значит вырождена. Это означает, что наша форма должна иметь на одну координату меньше, чем размерность пространства. (Все это общеизвестные факты, см. литературу.) Если точку М определяют координаты x,y,z,t, а точку М’ определяют координаты x’,y’,z’,t’, тогда преобразования Лоренца (не будем расписывать всем известные коэффициенты) выглядят:
(1) t=At’+Bx’, x=Dt’+Ex’ , y=y’, z= z’,
Чтобы форма не была тождественно равна нулю, и чтобы в ней было не четыре координаты (так как размерность пространства четыре) нам необходимо зафиксировать, к примеру, координату z=z^, z’=z^’. Разделим форму для x,y,z,t на z^, а форму для x’,y’,z’,t’ на z^’, а затем заменим все координаты:
(2) T=t/z^, X= x/z^, Y=y/z^ и T’=t’/z^’, X’=x’/z^’, Y’=y’/z^’,
ясно, что мы получили квадратичные формы в каноническом виде отличные от нуля (не будем их расписывать).
Подставим в (2) формулы (1), тогда (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y):
(3) T= AT’+BX’, X= DT’+EX’, Y=Y’,
уравнения (3) в точности совпадают с известными преобразованиями Лоренца, а значит ортогональны. Ч.т.д.
Но мы видим, что при введении произвольного коэффициента N для всех координат одновременно изменений в уравнениях (3) не произойдет, действительно, если
(4) t=N(At’+Bx’), x=N(Dt’+Ex’) , y=Ny’, z= Nz’,
то уравнения (3) не изменятся, при этом сохранится их ортогональность, но уравнения (1) не будут единственными. Интервал, записанный в координатах (4) не изменяется, так как он - тождественный ноль, исследование на ортогональность по известным формулам не проводится, так как форма вырождена, но после того, как придем к не вырожденной форме (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y), преобразования координат будут ортогональны. Надо отметить это возможно только на поверхности изотропного конуса.
Литература: 1) Н.В. Ефимов «Высшая геометрия».
2) Г.Е. Шилов «Математический анализ. Конечномерные линейные пространства».
12 мая 2008 год Игорь Елкин
Аннотация к статье «Преобразования Лоренца не единственны»:
Основа физики – геометрия, так как только геометрия определяет способы задания координат (это около 400 страниц высшей математики, туда входит проективная геометрия и теория групп). Вывод из этих теорий однозначен – преобразования координат единственны и это преобразования Лоренца, но это внутри изотропного конуса. Если рассмотреть поверхность изотропного конуса, то можно доказать на этом подпространстве, что эти преобразования не обладают единственностью. Самое интересное, что любые измерения расстояния (в трехмерном евклидовом пространстве) можно свести к измерению расстояния светом. Это означает, что мы все рассматриваем на поверхности изотропного конуса. Это уже означает, что все преобразования координат мы обязаны рассматривать на поверхности изотропного конуса, а они не обладают единственностью.