Поняття фракталів (стр. 2 из 4)

Мал.7

Третім алгоритмом створення фрактальних об'єктів на площині є використання комплексних відображень, що зіставляють одному комплексному числу інше комплексне число за деяким ітераційним правилом. Прикладом фрактала отриманого за допомогою комплексних відображень є множина Жюліа (мал.7).

2.2 Системи Ітеріруємих Функцій

У евклідовом просторі

відстань (x;y) між точками x=( ; ) і y=( ; ) визначається за допомогою наступної формули

Відстань в просторі

можна також вимірювати функцією (x;y)=| - |+| - |.

Дві приведені функції, будучи вимірами відстані, по-різному визначають відстані між двома точками. Існують чотири основні властивості функції відстані:

- відстані від точки x до точки y і від точки y до точки x рівні: d(x;y)=d(у;x);

- відстань від точки x до цієї ж точки x дорівнює нулю: d(x;x)=0;

- відстань по прямій - це найкоротша відстань між двома точками: d(x;y) <=d(x;z)+d(z;y);

- для двох точок x і у функція відстані має бути дійсною, скінченою і додатною :

.

Функція відстані, що задовольняє даним властивостям, називається метрика.

Метричний простір (X,d) - множина точок X разом з метрикою d, визначеною на X.

Перетворення - зіставлення, згідно заздалегідь визначеному правилу, точці в одному просторі точки в іншому (можливо і в тому ж самому просторі).

Відображення, це перетворення, яке переводить простір X₁ в простір X₂ і позначається f_n: X₁ X₂.

Стиснююче відображення - перетворення в метричному просторі X₁ X₂ за умови існування коефіцієнта стиснення перетворення f: 0 s<1 такого, що d(f(x₁),f(x₂)) sd(x₁,x₂) для всіх

Система ітеріруємих функцій (Iterated Function System) складається з повного метричного простору (X,d) і скінченної множини стиснюючих відображень f_n: X₁ X₂ з коефіцієнтами стиснення Sn.

2.3 Стиснюючі афінні перетворення

Мал. 8.

Перш ніж розкривати зміст поняття - стиснюючі афінні перетворення, розглянемо лінійне перетворення

на комплексній площині Z, яке переводить рівносторонній трикутник з довжиною сторони рівній одиниці в рівносторонній трикутник в два рази меншого розміру представлений на мал. 8.

Розглянуте вище лінійне перетворення на комплексній площині є окремим випадком афінного перетворення площини

x_n+1=ax_n+by_n+e

y_n+1=cx_n+dy_n+f

Його можна подати в матричному вигляді

Так, наприклад, розглянуте перетворення можна записати у вигляді

У загальному випадку афінне перетворення на площині задається шістьма незалежними дійсними числами. Два числа e і f описують звичайну трансляцію, а чотири числа а, b, с, d задають довільне лінійне перетворення при незмінному положенні початку координат (0;0).

2.4 Метод простої заміни

2.4.1 Серветка Серпінського

Фрактал серветка Серпінського може бути побудований як за допомогою методу простої заміни, який застосовують для побудови регулярних фракталів, так і за допомогою методу IFS.

Розглянемо алгоритм побудови, заснований на методі простої заміни. Правильний трикутник ділений середніми лініями на чотири рівні трикутники і внутрішність центрального викидаємо. З трьома трикутниками, що залишилися, робимо те ж саме і так нескінченне число разів. Після певного числа викидань залишається множина S, представлена на мал. 9, яка є серветкою Серпінського.

Мал.9.

Фрактальна розмірність серветки Серпінського підраховується по формулі D=ln3/ln2=1,5849. Серветка має нульову площу, оскільки неважко перевірити, що в процесі її побудови була виключена площа, в точності рівна площі вихідного трикутника. Про це ж свідчить і значення фрактальної розмірності D<2, яка менше розмірності площини, на якій знаходиться цей об'єкт.

Всім відомий трикутник Паскаля (мал.10) за допомогою якого обчислюють коефіцієнти розкладу виразу виду

. Починаючи з трикутника, що складається з одиниць, обчислюють значення на кожному наступному рівні шляхом додавання сусідніх чисел; останньою ставлять одиницю.

Мал.10

Таким чином можна наприклад визначити, що:

.

Мал.11

Цей трикутник можна перетворити на привабливий фрактальний візерунок (мал.11), якщо замінити непарні коефіцієнти одиницями, а парні — нулями.

Візерунок демонструє властивості коефіцієнтів, що використовується при «арифметизації» комп’ютерних програм, що перетворює їх в алгебраїчні рівняння.

2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея

Для більшості регулярних фракталів фрактальна розмірність D менша, ніж розмірність d того простору, в якому знаходиться даний фрактальний об'єкт. Нерівність D < d відображає факт некомпактності фрактала, причому чим більше розрізняються величини D і d, тим більше рихлим є фрактал. Існують фрактали, які щільно заповнюють простір, в якому вони знаходяться, так що їх фрактальна розмірність D = d. Одним з прикладів такого роду є криві Пеано (Peano curves). Дракон Хартера-Хейтуея (мал.12) є прикладом кривої Пеано, для якої область, яку вона заповнює на площині, має химерну форму.

Мал.12

Перші чотири кроки його побудови представлено на мал.12

Як випливає з мал.13 кожний з відрізків прямої на наступному кроці замінюється на два відрізки, створюючих бічні сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого вихідний відрізок був би гіпотенузою. В результаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрям прогину чергується. Перший відрізок прогинається вправо (по ходу руху зліва направо), другий - вліво, третій - знову управо і так далі На мал.13 пунктиром показана конфігурація попереднього кроку. Таким чином, після кожного кроку число наявних відрізків подвоюється, а довжина кожного відповідно зменшується вдвічі. Тому фрактальна розмірність кривої, що утворюється в результаті (після нескінченного числа кроків), рівна 2.

Для реалізації вказаного вище алгоритму побудови необхідно перейти до комплексних чисел Z_A, Z_B и Z_C (Мал.14).

Мал.13

Для знаходження координат точки C представимо комплексні числа в тригонометричній формі. Знаходження координат точки C представлене формулами 1-8.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Гранична фрактальна крива (коли n прямує до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея. У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідно для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об’ємних текстур (малюнка на поверхні об’єкту).