Поняття фракталів (стр. 3 из 4)

2.5 Алгебраїчні фрактали

Це найкрупніша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш досліджені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор та інші.

Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому виявилася динамічна система після деякої кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як говорять - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково попаде в дані кінцеві стани. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними багатокольоровими узорами. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

Мал.14.

Наприклад, фрактал Ньютона, який штрихується відповідно до кількості ітерацій (мал.14).

2.6 Графіки функцій комплексної змінної

Комплексні числа можна трактувати як точки на площині. Тоді множину Мандельброта можна побудувати у просторі

.

Взагалі, графік дійсної функції можна побудувати в двомірному просторі (2D), на площині xOy. Це багатьом знайомо й звично(мал.15 а,б):

Мал.15(а,б)

Графік комплексної функції можна було б побудувати в чотиривимірному (4D) просторі (дві координати потрібно для зображення , і дві – для ).

На жаль, переважна більшість людей стикаються з серйозними проблемами при уяві чотиривимірного простору... Тому, одне з хитрощів, зазвичай вживане, полягає в наступному: графік будується в тривимірному (3D) просторі. Вісь Ox відповідає за , вісь Oy – за , вісь Oz – за…….. Для зображення використовується колір отриманої 3D-крапки. Колір береться із заздалегідь сформованої кольорової шкали (градієнта).

Ось декілька прикладів (мал.16 а,б) для

:

а)

б)

Мал.16 (а,б)

Для наочності під отриманою «поверхнею» зображено множина значень

( («кругла тінь»).

2.7 Формули побудови фракталів

2.7.1 Різновид алгебраїчних фракталів — басейни Ньютона (мал.17).

p(z) = 0, p(z) =

− 1,

які будуються за формулою:

Узагальнена формула , де a — будь-яке комплексне число.

2.7.2 Множина Жюліа та Мандельброта

Позначимо через

площину комплексних чисел, а через — риманову сферу . Розглянемо процес , де та . Взявши будь-яке число , піднесемо до квадрату та додамо константу для того, щоб отримати ; потім повторимо розрахунки для того, щоб отримати , і так далі.

Почнемо з найпростішого із можливих значень константи

, тобто . Тоді при кожній ітерації підраховується точний квадрат числа: . У залежності від значення розглядається три випадки:

1. Якщо

, тоді числа отримуються все менші та менші, їх послідовність прямує до нуля.

2. Якщо

, тоді числа отримуються все більші та більші, прямуючи до нескінченності.

3. Якщо

, тоді точки продовжують залишатися на відстані 1 від нуля. Їх послідовності лежать на границі двох областей тритягання, у данному випадку на колі (мал.18) з одиничним радіусом та центром у нулі.

Мал.18

Ситуація така: площина ділиться на дві зони впливу, а границя між ними є просто коло.

Сюрприз починається, коли ми візьмемо значення параметру

не дорівнює нулю, наприклад . У цьому випадку для послідновності присутні також три вищеперелічених випадків, але внутрішня точка, до якої прямує послідовність, вже не є нулем, а границя вже не є плоскою, вона надто крива(мал.19). Саме це Б. Мандельброт назвав фрактальной структурой такої границі.

Мал.19

Однією з таких характерних особливостей такої границі є її самоподібність. Якщо взяти будь-яку частину границі, то можна побачити, що вона зустрічається в різних місцях границі та мають різні розміри. Границі такого виду в математиці називають множинами Жюліа.

Різноманітні значення параметру

можуть створювати різноманітні множини Жюліа, причому найменші зміни цього параметру нерідко призводять до суттєвих метаморфоз.

Деякі множини Жюліа зв’язні, інші являють собою «пилевидні» канторові множини(мал.20 а,б,в,г).

Існує правило, що з’ясовує вид множини Жюліа. Воно залежить від параметру

та пов’язано з зображенням множини Мандельброта. Множина всіх точок , для яких ітерації залишаються обмеженими при , називається множиною Мандельброта (мал.21).

Мал.21

Цікаво, що всі значення

, при яких множини Жюлиа зв’язні, належать множині Мандельброта, тому останнє може бути визначеним і як множина всіх значень параметру , при яких множина Жюліа зв’язна.

Сукупність елементів поля коплексних чисел, для яких послідовність: , що визначена ітераційно за правилом , де …… задовольняє умову . Наприклад множина Мандельброта (мал.22 а,б,в,г,д,е).

а)

б) в)