Поняття фракталів (стр. 1 из 4)
План
I. Вступ
1.1 Фрактал. Історія його виникнення
1.2 Види фракталів та методи їх створення
1.3 Типи самоподібності у фракталах
1.4 Розмірність фракталів
II. Основна частина
2.1 Класифікація алгоритмів створення фракталів
2.2 Системи Ітеріруємих Функцій
2.3 Стиснюючі афінні перетворення
2.4 Метод простої заміни
2.4.1 Серветка Серпінського
2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея
2.5 Алгебраїчні фрактали
2.6 Графіки функцій комплексної змінної
2.7 Формули побудови фракталів
2.7.1 Різновид алгебраїчних фракталів — басейни Ньютона
2.7.2 Множина Жюліа та Мандельброта
III. Висновок
IV. Використана література
І Вступ
1.1 Фрактал. Історія його виникнення
Все, що створено людиною, обмежено площинами. Коли зустрічається об’єкт у природі, то спочатку можна побачити, що описати його форму можна лише наближено й допоможуть в цьому фрактали. Де закінчуються правильні форми Евклідової геометрії, там зустрічаються фрактали.
Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) – нерегулярна, самоподібна структура. У широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої (мал.1).
Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша "Африканські Фрактали", задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. У 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю “Керівництво Художника”, один із розділів якої має назву "Черепичні шаблони, утворені пентагонами". Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.
Ідею "рекурсивної самоподібності" було висунуто філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. У 1872 Карл Веєрштрасс знайшов приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційованої — графік цієї функції тепер називався б фракталом. У 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштрасса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих, котрі складаються із частин, схожих на ціле, було далі розвинено Полем П'єром Леві, який у своїй роботі "Криві та поверхні на площині та у просторі", виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві (мал.2 а, б, в).
а) б) в)
Мал.2
Ґеорг Кантор навів приклади підмножин дійсних чисел із незвичними властивостями — ці множини Кантора тепер також визнаються як фрактали.
Ітераційні функції на комплексній площині досліджувались в кінці XIX та на початку XX століття Анрі Пуанкаре, Феліксом Кляйном, П'єром Фату та Ґастоном Жюліа. Проте за браком сучасної комп'ютерної графіки у них забракло засобів відобразити красу багатьох із відкритих ними об'єктів.
У 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність, наприклад Крива Хильберта (мал.3 а,б,в,г).
Мал.3
1.2 Види фракталів та методи їх створення
Існують три поширені методи створення (генерування) фракталів:
Перший метод — ітераційні функції, які будуються відповідно до фіксованого правила геометричних заміщень, в результаті яких утворюються геометричні фрактали, наприклад: сніжинка Коха (мал.4).
Мал.4
А також множина Кантора, килим Серпінського, трикутник Серпінського, крива Пєано, крива Коха, крива дракона, Т-Квадрат та губка Менгера є прикладами геометричних фракталів.
Другий метод — рекурентні відношення, це фрактали, що визначаються рекурентним відношенням у кожній точці простору (такому як площина комплексних чисел). Отримані таким методом фрактали називають алгебраїчними.
Прикладами алгебраїчних фракталів є множина Мандельброта (мал.5), палаючий корабель та фрактал Ляпунова.
Мал.5
Третій метод — випадкові процеси, це фрактали, що генеруються з використанням стохастичних, а не детермінованих процесів, наприклад: фрактальні ландшафти (мал.6 а,б,в,г,д), траєкторія Леві та броунівське дерево.
Мал.6.
1.3 Типи самоподібності у фракталах
Розрізняють три типи самоподібності у фракталах:
Точна самоподібність — це найсильніший тип самоподібності; фрактал виглядає однаково при різних збільшеннях. У фракталів, згенерованих з використанням ітераційних функцій, часто виявляється точна самоподібність.
Майже самоподібність — слабка форма самоподібності; фрактал виглядає приблизно (але не точно) самоподібним при різних збільшеннях. Майже самоподібні фрактали містять малі копії цілого фракталу у перекручених та вироджених формах. Фрактали, згенеровані з використанням рекурентних відношень, зазвичай є майже (але не точно) самоподібними.
Статистична самоподібність — це найслабкіша форма самоподібності; фрактал має чисельні або статистичні міри, що зберігаються при збільшенні. Найприйнятніші означення "фракталів" просто містять в собі деякий вид статистичної самоподібності (розмірність фракталу, саме по собі, є чисельною мірою, що зберігається при збільшенні). Ймовірнісні фрактали є прикладами фракталів, які є статистично, але не майже й не точно самоподібними.
1.4 Розмірність фракталів
У евклідової геометрії є поняття розмірності: розмірність крапки — нуль, відрізка та кола — одиниця, круга і сфери — два, кулі — три. З одновимірними об'єктами ми пов'язуємо поняття довжини, з двовимірними - площі і так далі. Але як можна уявити собі множину з розмірністю 3/2? Мабуть, для цього потрібно щось проміжне між довжиною і площею, і якщо довжину умовно назвати 1-мірою, а площа - 2-мірою, то потрібна (3/2) -міра.
У 1919 році Ф. Хаусдорф дійсно визначив таку а-міру і на цій основі кожній множині в евклідовому просторі підставив число, назване їм метричною розмірністю. Він же навів перші приклади множин з дробовою розмірністю. Виявилось, що дробову розмірність мають канторова множина, крива Коха і інші екзотичні об'єкти, до недавнього часу маловідомі за межами математики.
Оскільки фрактал складається з нескінченного числа елементів, що повторюються, неможливо точно виміряти його довжину. Це означає, що чим точнішим інструментом ми будемо його вимірювати, тим більшою виявиться його довжина. Тоді як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновимірний простір, фрактальна лінія виходить за межі одновимірного простору, вторгаючись у двовимірне. Таким чином, фрактальна розмірність кривої Коха знаходитиметься між 1 і 2. Найдивовижнішим виявляється те, що й багато природних об'єктів володіють ніби дробовою розмірністю, хоча, відверто кажучи, для природних об'єктів таку розмірність обчислити неможливо. Правильніше сказати, що в певних діапазонах спостереження природні об'єкти, що виникли в результаті довгої дифузії й абсорбції, схожі на фрактальні множини. Наприклад, розмірність побережжя лежить між 1,01 і 1,6, а кровоносної системи людини — між 3,4 і 3,6
ІІ Основна частина
2.1 Класифікація алгоритмів створення фракталів
Бенуа Мандельброт в своїх книгах навів яскраві приклади вживання фракталів до пояснення деяких природних явищ. Мандельброт приділив велику увагу цікавій властивості, якою володіють багато фракталів. Річ у тому, що часто фрактал можна розбити на скільки завгодно малі частини так, що кожна частина виявиться просто зменшеною копією цілого. Інакше кажучи, якщо ми дивитимемося на фрактал в мікроскоп, то із здивуванням побачимо ту ж саму картину, що і без мікроскопа. Це властивість самоподібності різко відрізняє фрактали від об'єктів класичної геометрії.
Необхідно відзначити, що властивість самоподiбностi характерна лише для регулярних фракталів.Багато регулярних фракталів будуються шляхом нескiнченного повторення декількох простих операцій - заміною одного елементу деякою комбінацією інших, йому подібних. Потім ця ж операція повторюється з кожним з цих елементів, і так далі до нескінченності. На методі простої заміни заснований перший алгоритм побудови фракталів.
Виникає питання, чи не можна цю "процедуру заміни" перекласти мовою математичних формул. Таким чином, в середині 80-х років з'явився метод Систем Ітеріруємих Функцій - СІФ (Iterated Function System - IFS) як простий засіб здобуття фрактальних структур. Таким чином, деякі з вищеперелічених фракталів можна отримати за допомогою методу СІФ. Метод Систем Ітеріруємих функцій є основою для другого алгоритму побудови фрактальних структур. Замість детермінованого способу побудови регулярних фракталів в алгоритм створення фрактальних структур був включений деякий елемент випадковості, що приводить до побудови випадкових фракталів. Багато фракталів можуть бути отримані за допомогою цих двох алгоритмів. Тоді в першому випадку вони побудовані як регулярні фрактали, а в другому як випадкові.
Одним з найбільш яскравих прикладів серед різних систем ітеріруємих функцій є відкрита система М. Бранслі з чотирьох стискуючих афінних перетворень, аттрактором для якої є множина точок, яка дуже нагадує по формі зображення листа папороті.