Построение математических моделей (стр. 1 из 5)
Содержание
Задание 1
Задание 2
Список литературы
Вариант 6
Задание 1
Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).
Таблица 1
| Время, t | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
| Выручка, у | 3,0 | 2,9 | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 2,8 | 2,9 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
| Объем капитало- вложений, х | 1,1 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,4 | 1,4 | 1,3 | 1,6 | 1,3 | 1,4 |
1. Построить поле корреляции.
2. Найти параметры уравнения линейной регрессии
; дать экономическую интерпретацию параметров а и b.3. Составить уравнения нелинейных регрессий:
· гиперболической
;· степной
;· показательной
4. Для каждой из моделей:
- найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);
- найти коэффициент детерминации;
- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.
5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
6. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
7. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.
РЕШЕНИЕ:
1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Поле корреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1).
Рис. 1
Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.
2. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b.
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 2.
Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:
В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения.
b = 0,843, т.е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн. руб.
Таблица 2
Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели
| t | Y | X | X2 | X*Y |
| 1998 | 3,0 | 1,1 | 1,21 | 3,3 |
| 1999 | 2,9 | 1,1 | 1,21 | 3,19 |
| 2000 | 3,0 | 1,2 | 1,44 | 3,6 |
| 2001 | 3,1 | 1,4 | 1,96 | 4,34 |
| 2002 | 3,2 | 1,4 | 1,96 | 4,48 |
| 2003 | 2,8 | 1,4 | 1,96 | 3,92 |
| 2004 | 2,9 | 1,3 | 1,69 | 3,77 |
| 2005 | 3,4 | 1,6 | 2,56 | 5,44 |
| 2006 | 3,5 | 1,3 | 1,69 | 4,55 |
| 2007 | 3,6 | 1,4 | 1,96 | 5,04 |
| Σ | 31,4 | 13,2 | 17,64 | 41,63 |
3. РАССЧИТАЕМ:
- коэффициент парной корреляции.
Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи.
Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации
| t | Y | X |  |  |  |  | A |
| 1998 | 3,0 | 1,1 | 0,048 | 0,020 | 0,031 | 2,955 | 0,015 |
| 1999 | 2,9 | 1,1 | 0,048 | 0,058 | 0,053 | 2,955 | 0,019 |
| 2000 | 3,0 | 1,2 | 0,014 | 0,020 | 0,017 | 3,039 | 0,013 |
| 2001 | 3,1 | 1,4 | 0,006 | 0,002 | -0,003 | 3,207 | 0,035 |
| 2002 | 3,2 | 1,4 | 0,006 | 0,004 | 0,005 | 3,207 | 0,002 |
| 2003 | 2,8 | 1,4 | 0,006 | 0,116 | -0,027 | 3,207 | 0,146 |
| 2004 | 2,9 | 1,3 | 0,000 | 0,058 | 0,005 | 3,123 | 0,077 |
| 2005 | 3,4 | 1,6 | 0,078 | 0,068 | 0,073 | 3,376 | 0,007 |
| 2006 | 3,5 | 1,3 | 0,000 | 0,130 | -0,007 | 3,123 | 0,108 |
| 2007 | 3,6 | 1,4 | 0,006 | 0,212 | 0,037 | 3,207 | 0,109 |
| Σ | 31,4 | 13,2 | 0,216 | 0,684 | 0,182 | 0,530 |
коэффициент детерминации
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.
22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.
Рис. 2
F – критерий Фишера
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера:
Расчетное значение статистики Фишера сравниваем с табличным
F(α; d.f.1; d.f.2), где
α – уровень значимости (для большей надежности примем его равным 0,05);
Число степеней свободы d.f.1 = k = 1, где k – число факторов в модели;
Число степеней свободы d.f.2 = n – k – 1 = 10 – 1 – 1 = 8
F (0.05; 1; 8) = 5,318.
В силу того, что F(расч.) = 2,312 < F(табл.)= 5,318, то уравнение в целом можно считать статистически незначимым.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Фактические значения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибка небольшая, модель считается точной
4. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК).
Система нормальных уравнений имеет вид:
Необходимые расчеты представлены в таблице 4.
Таблица 4
Вспомогательная таблица для расчетов показателей по гиперболической модели
| t | Y | X | 1/Х | 1/Х^2 | Y/X |  |  | A |
| 1998 | 3,0 | 1,1 | 0,909 | 0,826 | 2,727 | 2,940 | 0,004 | 0,020 |
| 1999 | 2,9 | 1,1 | 0,909 | 0,826 | 2,636 | 2,940 | 0,002 | 0,014 |
| 2000 | 3,0 | 1,2 | 0,833 | 0,694 | 2,500 | 3,047 | 0,002 | 0,016 |
| 2001 | 3,1 | 1,4 | 0,714 | 0,510 | 2,214 | 3,215 | 0,013 | 0,037 |
| 2002 | 3,2 | 1,4 | 0,714 | 0,510 | 2,286 | 3,215 | 0,000 | 0,005 |
| 2003 | 2,8 | 1,4 | 0,714 | 0,510 | 2,000 | 3,215 | 0,172 | 0,148 |
| 2004 | 2,9 | 1,3 | 0,769 | 0,592 | 2,231 | 3,137 | 0,056 | 0,082 |
| 2005 | 3,4 | 1,6 | 0,625 | 0,391 | 2,125 | 3,341 | 0,004 | 0,017 |
| 2006 | 3,5 | 1,3 | 0,769 | 0,592 | 2,692 | 3,137 | 0,132 | 0,104 |
| 2007 | 3,6 | 1,4 | 0,714 | 0,510 | 2,571 | 3,215 | 0,148 | 0,107 |
| Σ | 31,4 | 13,2 | 7,672 | 5,962 | 23,983 | 0,533 | 0,549 |
Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: