Преследование на плоскости (стр. 3 из 3)
Доказательство. Очевидно, что оптимальной стратегией для убегающего игрока (крысы) будет бегство по катету. Отношение катетов |Pb| и |Eb| равно Ö2. То есть равно отношению их скоростей.
Лев и человек
Пусть два игрока (лев и человек) находятся внутри круглой арены и их скорости равны. На главный вопрос «Каковы их шансы?» есть однозначный ответ, человек при любых начальных условиях сможет убежать. Попробуем доказать это утверждение.
 |
Синий кружок – это преследователь и зелёный кружок это убегающий игрок. Для начала выполним небольшой качественный анализ. Проведем через преследователя и убегающего прямую линию и перпендикуляр к ней. Пусть убегающий игрок движется по перпендикуляру какое-то время. Построим треугольник на точках (Лев, Человек, Точка пересечения отрезка по которому движется человек с окружностью). Этот треугольник тупоугольный и тупой угол при вершине, в которой находится человек. Это следует из того, что начальное положение Льва и Человека – это единственное положение, когда данный угол равен 90 градусов, острым этот угол быть не может, следовательно, он тупой.
Итак мы выяснили, что в момент начала движения угол при вершине человек увеличивается, мы не можем сказать насколько, но сам факт не вызывает сомнения.
Далее, человек, конечно же, не сможет двигаться по данному отрезку бесконечно (впереди стенка ограждения). Поэтому он должен повернуть на другой отрезок (последовательность отрезков показана на чертеже). Мы вполне можем момент поворота принять за начальный момент движения. Итак, пусть это будет начальный момент, но выше было сказано, что в начальный момент движения угол в вершине Человек увеличивается, следовательно, если он был тупым, он станет ещё более тупым.
При каждом повороте мы имеем следующий тупоугольный треугольник
 | |
 |
А по условию их скорости равны. Естественно, что находясь в точности позади человека, Лев не имеет никаких шансов его поймать. Единственно, что нужно человеку это правильно определить последовательность моментов времени в которые необходимо осуществлять поворот. Попробуем сделать это.
Строгое доказательство. Обозначим через «а» расстояние от точки Человек до точки пересечение отрезка построенного указанным выше способом с окружностью. А через ti временные точки в которых человек будет осуществлять поворот. Пусть эти моменты времени вычисляются следующим образом:
ti = (1/v)*(a/2 + a/3 + …. + a/i) = (a/v)*(1/2 + 1/3 + …..1/i)
Таким образом, наша теорема справедлива, если полученный числовой ряд не сходится. Покажем, что это действительно так.
Пусть i = 2k.
Тогда имеем следующее
(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 … 1/(2k-1 +1) + ….+ 1/2k) >
(1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 +1/8 +1/8 +1/8 +… 1/2k +… +1/2k) = k/2
Отсюда следует, что при к стремящимся к бесконечности время также стремится к бесконечности, что и требовалось доказать.
Кстати из этого же следует, что хотя лев и не может догнать человека, но он может приблизиться к человеку сколь угодно близко. Это следует из того соображения, что в момент поворота человек разворачивается в сторону льва. Может показаться странным, что бесконечно большое количество разворотов не даёт возможность льву поймать человека. Объясняется это очень просто. Угол разворота каждый раз уменьшается.
Заключение
В процессе выполнения исследования были рассмотрены различные игры на преследования и были проанализированы алгоритмы поиска пути. В ходе работы была показана взаимосвязь между играми на преследование и окружностью Апполония, что позволяет некоторые задачи игр на преследование решать методами, не выходящими за рамки школьной математики, хотя в основном данные игры решаются методами теории дифференциальных уравнений.
Список использованных источников
1. Гервер М.Л., Про лису и собаку // Квант №2, 1973, с. 39–44.
2. Гервер М.Л., Собака бежит наперерез // Квант №3, 1973, с. 15–18.
3. Петросян Л.А., Преследование на плоскости // Петросян Л.А., Рихсеев Б.Б., – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 96 с. – (Попул. лекции по мат.; Вып. 61)