Разложение функций. Теория вероятностей (стр. 2 из 4)

Например, появление герба или решки при бросании монеты. Или бросании игральных костей. Найти вероятность выпадения 6. Р(А)=1/6-равновозможные несовместимые события.

События образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Например, герб или решка при выпадении.

В дальнейшем при решении многих задач, а так же в некоторых формулах будет присутствовать понятие из комбинаторики, называемое «сочетание»

- сочетание из n по m элементов.

число сочетаний из n элементов по m. Это число способов, которыми можно взять m элементов из n.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А или В или их обоих.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Эта теорема распространяется и на n слагаемых, когда события попарно несовместимы.

Пример.

В ящике 10 деталей, из которых … окрашены. Взяли 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

А- хотя бы одна окрашена.

Первый способ.

В- одна деталь окрашена (2 не окрашены).

С- две детали окрашены (1 не окрашена).

Д- три детали окрашены.

Интересующее событие произойдет, если произойдет одно из трех событий В,С или Д.

А=В+С+Д.

Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(Д)=

=5/6

Второй способ.

Рассмотрим понятие противоположных событий.

Событием, противоположным событию А называется событие

, состоящее вне наступлении события А. Очевидно, что события А и несовместны.

Например: А- стрелок поразил мишень;

- стрелок промахнулся. В дальнейшем вероятность появления события А будем обозначать р, а вероятность появления противоположного события - q.

Теорема: сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А)+Р(

)=1 или p+q=1

А- хотя бы одна из деталей окрашена. Тогда

- ни одна из трех деталей не окрашена.

Р(А)+Р(

)=1. Р(А)=1-Р( )=5/6

Два события называются независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

Произведением А*В двух событий А и В, называется событие, состоящее в совместном наступлении события А и В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятностью совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Эта теорема распространяется и на n сомножителей, когда события попарно независимы.

Пример 1(51).

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятное попадание в мишень при одном выстреле равна 0,7 и 0,8 соответств. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет:

А). только 1 из стрелков.

Б). Оба попадут.

В). оба промажут.

A- первый попал. В- второй попал.

Р(А)=р₁=0,7 Р(В)=р₂=0,8

- первый промах. - второй промах.

Р(

)=q₁=0,3 Р( )=q₂=0,2

А). Р(A)Р(

)+Р( )Р(B)=p1q1+p2q2=0,38

Б). Р(А)*Р(В)=p1*p2=0,56

В). Р(

)*Р( )=q1*q2=0,6.

Проверка: 0,38+0,56+0,6=1.

Пример 2. Пример 3 (55). Пример 4 (56).

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р_В(А) – вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного проявления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго.

Р(А*В)=Р(А)*Р_А(В)

Р(А*В)=Р(А)*Р_В(В)

Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытаний может произойти n независимых событий А1,А2…, либо некоторые из них Р(А1)=р1, Р(

)=q1… Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Теорема.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2…, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

Р(А)=1-q₁q₂…q_n

Замечание.

Если все события имеют одинаковую вероятность Р, то

Р(А)=1-q_n.

Примеры 82, 87, Д/з.

Формула полной вероятности.

События В₁,В₂,…,В_n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В₁)+ Р(В₂)+…+ Р(В_n)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В₁,В₂,…,В_n. Тогда вероятность события А равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+ Р(В₂)Р_В2(А)+…+ Р(В_n)Р_Вn(А)

Формула Бейеса

События В₁,В₂,…,В_n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В₁)+ Р(В₂)+…+ Р(В_n)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В₁,В₂,…,В_n. Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности.

Пусть событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез В₁,В₂,…,В_n могут быть переоценены по формуле Бейеса:

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может или наступить или не наступить. Вероятность наступления (не наступления) события А одна и та же и равна p (q=1-p).

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно к раз (по фиг, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит:

а). Менее к раз P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(k-1).

б). Более к раз P_n(k+1)+P_n(k+2)+…+P_n(n).

в). не менее к раз P_n(k)+P_n(k+1)+…+P_n(n).

Г). не более к раз P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(k).

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Этими теоремами мы пользуемся в том случае, когда n достаточно большое.

Локальная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит ровно ‘к’ раз, приближенно равно:

,

Таблица функций

для положительных значений (х) приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 1, стр.324-325.

Так как

четная ( ), то для отрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей.

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит не менее ‘к’ раз, приближенно равно:

,

Функция Лапласа

Таблица функций

для положительных значений [5<=x<=5] приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 2, стр.326-327. Для значений, больших 5 полагаем Ф(х)=0,5.

Так как функция Лапласа нечетная Ф(-х)=-Ф(х), то для отрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей, только значения функции берем со знаком минус.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Биноминальный закон распределения.

Дискретная – случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно пронумеровать.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Дискретные случайные величины обозначаются большими буквами Х, а их возможные значения – маленькими х1, х2, х3…