Разложение функций. Теория вероятностей (стр. 3 из 4)
Например.
Х – число очков, выпавших на игральной кости; Х принимает шесть возможных значений: х1=1, х2=1, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6 с вероятностями р1=1/6, р2=1/6, р3=1/6 … р6=1/6.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения может быть задан:
1. в виде таблицы.
2. Аналитически - в виде формулы.
3. графически. В этом случае в прямоугольной системе координат ХОР строятся точки М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn). Эти точки соединяют отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Для написания закона распределения дискретной случайной величины (х), надо перечислить все ее возможные значения и найти соответствующие им вероятности.
Если соответствующие им вероятности находятся по формуле Бернулли, то такой закон распределения называется биномиальным.
Пример №168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числовые значения дискретных случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Характеристикой среднего значения дискретной случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Т.е. если задан закон распределения, то математическое ожидание
Если число возможных значений дискретной случайной величины бесконечно, то
Причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно, и сумма всех вероятностей рi равна единице.
Свойства математического ожидания.
1. М(С)=С, С=пост.
2. М(Сх)=СМ(х)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. Для биноминального закона распределения математическое ожидание находится по формуле:
М(х)=n*р
Характеристикой рассеяния возможных значений случайно величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией дискретной случайной величины (х) называют математическое ожидание квадрата отклонения. Д(х)=М(х-М(х))2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле: Д(х)=М(х2)-(М(х))2 .
Свойства дисперсии.
1. Д(С)=0, С=пост.
2. Д(Сх)=С2Д(х)
3. Д(х1+х2+…+хn)=Д(х1)+Д(х2)+…+Д(хn)
4. Дисперсия биноминального закона распределения
Д(х)=nрq
Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии.
примеры. 191, 193, 194, 209, д/з.
Интегральная функция распределения (ИФР, ФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ).Непрерывная – величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений НСВ есть
и его невозможно перенумеровать.Например.
Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле, есть НСВ.
ИФР называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что НСВ Х примет значение Х<х, т.е. F(x)=Р(X<x).
Часто вместо ИФР говорят ФР.
Геометрически, равенство F(x)=Р(X<x) можно растолковать: F(x) есть вероятность того, что НСВ Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Свойства ИФ.
1. Значение ИФ принадлежит промежутку [0;1], т.е. F(x)
.2. ИФ есть неубывающая функция, т.е. х2>х1,
.Следствие 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, заключенное в интервале (а;в), равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е.
P(a<x<b)=F(b)-F(a)
Следствие 2. Вероятность того, что НСВ Х примет одно определенное значение, например, х1=0, равна 0, т.е. Р(х=х1)=0.
3. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>в.
Следствие 3. Справедливы следующие предельные отношения.
ДФ f(x) распределения вероятностей НСВ называют первую производную от ИФР:
f(x)=F’(x)
Часто вместо ФДР говорят плотность вероятности (ПВ).
Из определения следует, что, зная ИФ F(x) можно найти ДФ f(x). Но выполняется и обратное преобразование: зная ДФ f(x), можно найти ИФ F(x).
; 
; 
Вероятность того, НСВ Х примет значение, принадлежащее (а;в), находится:
А). Если задана ИФ – следствие 1.
Б). Если задана ДФ
Свойства ДФ.
1. ДФ – не отрицательная, т.е.
.2. несобственный интеграл от ДФ в пределах (
), равен 1, т.е. 
.Следствие 1. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то
.Примеры. №263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з.
1. Математическое ожидание (МО) НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле:
Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то МО определяется по формуле:
Все свойства МО, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
2. Дисперсия НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле:
Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то дисперсия определяется по формуле:
Все свойства дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
3. Среднее квадратичное отклонение НСВ Х определяется также, как и для дискретных величин:
Примеры. №276, 279, Х, д/з.
ОИ представляет собой метод, позволяющий свести операции дифференцирования и интегрирования функций к более простым действиям: умножение и деление на аргумент так называемых изображений этих функций.
Использование ОИ облегчает решение многих задач. В частности, задач интегрирования ЛДУ с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений, сводя их к линейным алгебраическим.
Оригиналы и изображения. Преобразования Лапласа.
f(t)-оригинал; F(p)-изображение.
Переход f(t)
F(p) называется преобразование Лапласа.Преобразование по Лапласу функции f(t) называется F(p), зависящая от комплексной переменной и определяемая формулой:
Этот интеграл называется интеграл Лапласа. Для сходимости этого несобственного интеграла достаточно предположить, что в промежутке
f(t) кусочно непрерывна и при некоторых постоянных М>0 и 
удовлетворяет неравенству
Функция f(t), обладающая такими свойствами, называется оригиналом, а переход от оригинала к его изображению, называется преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа.
Непосредственное определение изображений по формуле (2) обычно затруднено и может быть существенно облегчено использованием свойств преобразования Лапласа.
Пусть F(p) и G(p) являются изображениями оригиналов f(t) и g(t) соответственно. Тогда имеют место следующие свойства-соотношения:
1. С*f(t)
С*F(p), С=const -свойство однородности.2. f(t)+g(t)
F(p)+G(p) –свойство аддитивности.3. f(t)
F(p- 
) -теорема смещения.4.
переход n–ой производной оригинала в изображение (теорема дифференцирования оригинала).
5. y”+py’+qy=0; f(x)=eaxPn’(x)
Теорема дифференцирования изображения
Таблица изображений основных элементарных функций. Нахождение изображений по оригиналу (переход от оригинала к изображению).