Рішення лінійних рівнянь першого порядку (стр. 3 из 3)

Вирішуємо систему 16-го порядку з рівняння A_*S = S_*В

Знаходимо деякі елементи й одержуємо наступну матрицю S:

Зробимо перевірку A_*S - S_*В=0:

Значить матриця переходу знайдена вірно.

Для знаходження вектора рішень y необхідно помножити матрицю S на

, де - це вектор, елементи якого залежать від корінь характеристичного багаточлена:

Для комплексних чисел

має такий вигляд:

Для випадку корінь дійсних різних:

У нашім випадку

виходить рівної:

=

Звідси знайдемо загальне рішення в=S*

, одержимо:

При підстановці рішення у вихідну систему виходить вірна рівність, із цього треба, що рішення знайдене вірно:

7. Задача Коші для матричного методу

Необхідно із всіх рішень системи рівнянь знайти таке рішення, у якому y ^{(i) (}t) приймає задане числове значення y_0i у заданій крапці, тобто знайти значення с_i для наступних заданих значень: x=0, y= [1, 2, 3,4].

У вектор рішень y (t) підставляємо задані умови й вирішуємо отриману систему відносно c1, c2, c3, c4:

У результаті одержуємо:

При підстановці c1, c2, c3, c4 у загальне рішення одержимо рішення у формі Коші:

Зробимо перевірку, підставивши загальне рішення у вихідну систему

:

Вийшов нульовий вектор

. Отже, знайдена матриця є рішенням вихідної системи.

Дослідження залежності жордановой форми матриці А від властивостей матриці системи.

Нехай J - жорданова клітка матриці А. Для випадку дійсних різних корінь жорданова клітка буде виглядати в такий спосіб:

Нехай серед дійсних власних чисел матриці А є кратні. Жорданова клітка буде перебувати по наступній формулі:

Наприклад, якщо кратність k=2, те жорданову клітку матриці ми можемо записати так:

Якщо кратність k=3, то жорданову клітку матриці ми можемо записати так:

Якщо ж серед трьох власних чисел

є коріннями кратності 2, то жорданова форма буде виглядати в такий спосіб:

Якщо два власних числа матриці А є комплексними сполученими, то запис жордановой клітки буде виглядати так:

де

- дійсна, - мнима частина власного числа .

8. Рішення неоднорідної системи

Права частина:

Загальне рішення неоднорідної системи можна знайти по формулі:

Де

- фср, З - матриця , F (t) - вектор праві частини.

- загальне рішення однорідної системи

- приватне рішення неоднорідної системи

Отримане приватне рішення неоднорідної системи:

Загальне рішення однорідної системи

Тоді їхня сума буде шуканим загальним рішенням неоднорідної системи:

Перевіримо

Знайдене рішення вірно.

Графіки

Зобразимо графічно точне приватне рішення однорідної лінійної системи диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами для початкових умов: t₀ = 0, y₀ = [1, 2, 3, 4].

Зрівняємо графік однієї функції вектора точного рішення й однієї функції вектора наближеного рішення з 3-мя, 5-ю й 7-ю членами ряду:

Де 1 - графік наближеного рішення для трьох членів ряду; 2 - графік наближеного рішення для шести членів ряду; 3 - графік наближеного рішення для дев'яти членів ряду; 4 - графік точного рішення.

Можна зробити висновок:

Зі збільшенням числа членів ряду, число збігу членів ряду з точним рішенням буде збільшуватися, область збігу буде рости.

Висновок

У ході проробленої роботи було вивчено 3 методи знаходження загального рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь: метод Ейлера, рішення у вигляді матричного ряду й матричний метод. У порівнянні з методом Ейлера й матричним методом, метод розкладання в матричний ряд простий у реалізації, але дає наближене рішення. Також була вивчена задача Коші, що була використана для знаходження приватного рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь для даного виду початкових умов.

Для встановлення правильності проведених обчислень була проведена перевірка за допомогою підстановки отриманих рішень у вихідну систему рівнянь.

Для реалізації цієї роботи в DERIVE були використані наступні функції пакета:

1. EIGENVALUES (A,

) - обчислення власних чисел матриці A з наступним записом у вектор .

2. SOLVE (Pm=0,

) - рішення рівняння Pm=0, де Pm - поліном ступеня m: Pm=p0* ^m p1* ^m-1+…+pm-1* +pm, а - змінна, щодо якої вирішується дане рівняння.

3. EXACT_VECTOR (A,

) - обчислення точного власного вектора матриці А и розміщення цих значень в.

4. DIF (A,x,n) - диференціювання A по x n раз.

5. SUM (M,n,f,g) - обчислення суми M по n змінюється з f до g.

6. VECTOR (u,k,n) - завдання (обчислення) вектора значень при k змінюється від 1 до n.

А також функції меню:

1. SOLVE/SYSTEM - рішення системи з наступним завданням у діалоговому вікні кількості рівнянь, самих рівнянь і змінних, щодо яких вирішується дане рівняння.

2. Simplify > Expand - розкриття виражень.

Команда Expand використовується для розкриття математичних виражень.

Expand expression: #n: де n - номер рядка вираження (операнда).

Expand Variable: #n.

У цьому варіанті команди необхідно вказати ім'я змінної, по якій буде проведене перетворення. Якщо по всім - <Enter>.

3. Для побудови графіків використовували функцію 2D-plot.

Література

1. Лобоцка Н.Л. Основи вищої математики. - К., 2003

2. Минорський В.П. Збірник задач по вищої математики. - К., 2004

3. Кудрявцев В.О., Демидович Б.П. Курс вищої математики. - К., 2004

4. Гмурман В.О. Теорія ймовірностей і математична статистика. - К., 2000

5. Гмурман В.О. Посібник з рішення задач по теорії ймовірностей і математичній статистиці. - К., 2005