Рішення систем диференціальних рівнянь за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядку (стр. 3 из 4)
5. Опис програми
Після проведеного огляду програмних засобів для розробки даного програмного продукту, було обране середовище Borland C++ Builder. Мова С++ добре зарекомендував себе ефективністю, лаконічністю запису алгоритмів, логічною стрункістю програми. Програми, написані мовою С++, порівнянні по швидкості із програмами, написаними мовою асемблера; при цьому вони більше наочні й прості в супроводі. Середовище Borland C++ Builder є засобом швидкої розробки windows-додатків, що дозволяє створювати додатка мовою С++, використовуючи середовище розробки й бібліотеку компонентів Delphi.
Готова програма являє собою файл, що виконується, з ім'ям «Adams3.exe», реалізований у вигляді Widows-Додатка в середовищі Borland C++ Builder. Після запуску програми на робочому вікні з'являється робоче вікно із заголовком «Рішення систем диференціальних рівнянь». В активному вікні можна виділити наступні області:
1) Область уведення вихідних даних.
2) Вікно висновку результатів.
3) Поле відображення графіків отриманих функцій, що є
рішенням заданої системи, і графіків щирого рішення.
4) Основне меню.
1) Область вихідних даних містить поля, у які потрібно ввести початкові дані: систему диференціальних рівнянь; інтервал, на якому потрібно знайти рішення заданої системи; припустиму погрішність; умови Коші в початковій крапці заданого інтервалу; кількість кроків «сітки» і крок висновку отриманих значень шуканих функцій у вузлах сітки.
У поля «du/dx= «і «dv/dx= «уводяться диференціальні рівняння, що містять символи, 'u', 'v' 'x', 'e', '1'..'9', '+', '-', '*', '/', '^', ' (', ')'. Тут: символи 'u' і 'v' являють собою шукані функції, символ 'e' є підставою натурального логарифма, символ '^' позначає операцію піднесення в ступінь. Використання інших символів небажано, тому що вони будуть зігноровані програмою.
Поля із заголовком «інтервал [a; b]» містять початкову й кінцеву крапку проміжку, на якому буде знайдене рішення заданої системи.
У поле «кількість кроків сітки» потрібно ввести ціле число, рівне кількості крапок по осі OX на заданому інтервалі, у яких шукаємо значення функцій u(x) і v(x).
Поле «крок висновку» містить ціле число, що визначає частоту висновку на екран результатів із множини результатів у всіх вузлах заданої сітки.
Поля під загальною назвою «початкові умови» містять умови Коші – значення шуканих функцій на початку заданого інтервалу [a, b].
Для коректної роботи програми всі поля повинні бути заповнені. При запуску програми всі перераховані вище поля вже містять стандартну інформацію для тесту програми, яку можна змінювати.
Користувачеві надається можливість вибору режиму програми. При запуску програми мітка біля напису «Не використовувати метод сіток, що згущаються,» відсутній, і програма, використовуючи метод сіток, що частішають, підбере після першого натискання кнопки «виконає» оптимальне значення кількості кроків для досягнення заданої точності. Після повторного натискання кнопки «виконати» будуть зроблені обчислення вже для значення кроку, що рекомендується, сітки. Якщо мітка поставлена, то після натискання кнопки «виконати» буде вирішена задача Коші для заданого інтервалу, але задана точність не буде досягнута. Даний режим дозволяє вводити різні системи диференціальних рівнянь, відмінних від стандартних тестових, рішенням яких є функції u(x)=2*x, v(x)=exp(x).
2) Всі результати, отримані в ході роботи програми, відображаються в окремому вікні (мал. 2). При бажанні, всю інформацію із цього вікна можна зберегти в окремий файл.
3) Отримане рішення у вигляді графіків шуканих функцій виводиться в окреме поле (мал. 2). Тут відображаються також графіки функцій f(x)=2*x і f(x)=exp(x), що є точним рішенням для тестових систем диференціальних рівнянь. Поле відображення графіків надобіддя.
4) Основне меню містить наступні пункти: «Файл» і «Про програму» (мал. 3). У свою чергу пункт меню «Файл» містить наступні підпункти: «новий», «відкрити», «зберегти як…» і «вихід».
При виборі пункту «новий» всі поля й вікна будуть очищені. Поле відображення графіків буде також очищено.
Вибравши пункт «зберегти як…», вся інформація з вікна результатів буде збережена в обраний користувачем файл (за замовчуванням txt).
Вибір пункту «відкрити» приводить до завантаження із уже збереженого раніше файлу системи диференціальних рівнянь.
Програма працює стабільно, не приводить до помилок.
6. Аналіз результатів
Результатом роботи програми «Adams3.exe» є таблиця значень отриманого рішення у вузлах заданої сітки, значень точного рішення й різниця між точним і отриманим рішеннями. Дану таблицю можна зберегти в текстовий файл із можливістю подальшого перегляду й редагування.
Як тестова задача була вирішена задача Коші за допомогою неявної схеми Адамса 3-го порядки на інтервалі [2,4] з початковими умовами
:
.Точним рішенням даної системи є функції:
Було потрібно домогтися рішення системи диференціальних рівнянь із точністю до 0.0001.
Результат рішення (вихідний файл):
Вхідні дані:
du/dx= u/x+v-e^x;
dv/dx= 2*x/u+v^2/e^x-1;
Інтервал: [2; 4]
Припустима погрішність: е=0,0001
Початкові умови:
u=4
v=7,389056098930650230
Кількість кроків сітки: 320
Крок висновку: 32
Результати:
x | u(x) | точне | різн. | v(x) | точне | різн. |
2,000 4,0000 4,0000 0,0000 7,3891 7,3891 0,0000
2,200 4,4000 4,4000 0,0000 9,0250 9,0250 0,0000
2,400 4,8000 4,8000 0,0000 11,0232 11,0232 0,0000
2,600 5,2000 5,2000 0,0000 13,4637 13,4637 0,0000
2,800 5,6000 5,6000 0,0000 16,4446 16,4446 0,0000
3,000 6,0000 6,0000 0,0000 20,0855 20,0855 0,0000
3,200 6,4000 6,4000 0,0000 24,5325 24,5325 0,0000
3,400 6,8000 6,8000 0,0000 29,9641 29,9641 0,0000
3,600 7,2000 7,2000 0,0000 36,5982 36,5982 0,0000
3,800 7,6000 7,6000 0,0000 44,7012 44,7012 0,0000
4,000 8,0000 8,0000 0,0000 54,5981 54,5982 0,0000
Час виконання: 0,015з
Як видно з отриманого результату, точність в 0.0001 досягається вже при кількості кроків, рівному 320. Час. Витрачене на розрахунок таблиці значень на заданому інтервалі становить усього 0.015 секунд, що практично не відчутно. Збільшення кроку сітки приведе до підвищення точності рішення, однак це збільшить і час роботи обчислювального процесу.
Задана точність досягається за мінімальну кількість ітерацій (1–3 ітерації).
Нижче наведений графік функцій отриманого й точного рішень:
Рис. 5.1 Графік отриманого й точного рішення
Рис. 5.2 Графік отриманого й точного рішення
Як видно з малюнків 5.1, 5.2, розбіжність кривих спостерігається тільки при досить великому збільшенні графіка.
Запропонована задача Коші була також вирішена в математичному пакеті «Mathcad 11» двома методами: методом Рунге-Кутта 5-го порядку й методом Рунге-Кутта з непостійним кроком. Реалізація рішення системи диференціальних рівнянь в «Mathcad 11» і таблиці результатів наведені нижче:
Реалізація рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта 5-го порядку:
Таблиця 5.1 – Результати рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта 5-го порядку.
| x | u(x) | v(x) | x | u(x) | v(x) |
| 2 | 4 | 7,3890561 | 3,1 | 6,2 | 22,19795 |
| 2,02 | 4,04 | 7,5383249 | 3,12 | 6,24 | 22,64638 |
| 2,04 | 4,08 | 7,6906092 | 3,14 | 6,28 | 23,10387 |
| 2,06 | 4,12 | 7,8459698 | 3,16 | 6,32 | 23,5706 |
| 2,08 | 4,16 | 8,0044689 | 3,18 | 6,36 | 24,04675 |
| 2,1 | 4,2 | 8,1661699 | 3,2 | 6,4 | 24,53253 |
| 2,12 | 4,24 | 8,3311375 | 3,22 | 6,44 | 25,02812 |
| 2,14 | 4,28 | 8,4994376 | 3,24 | 6,48 | 25,53372 |
| 2,16 | 4,32 | 8,6711376 | 3,26 | 6,52 | 26,04954 |
| 2,18 | 4,36 | 8,8463062 | 3,28 | 6,56 | 26,57577 |
| 2,2 | 4,4 | 9,0250135 | 3,3 | 6,6 | 27,11264 |
| 2,22 | 4,44 | 9,2073308 | 3,32 | 6,64 | 27,66035 |
| 2,24 | 4,48 | 9,3933313 | 3,34 | 6,68 | 28,21913 |
| 2,26 | 4,52 | 9,5830891 | 3,36 | 6,72 | 28,78919 |
| 2,28 | 4,56 | 9,7766804 | 3,38 | 6,76 | 29,37077 |
| 2,3 | 4,6 | 9,9741824 | 3,4 | 6,8 | 29,9641 |
| 2,32 | 4,64 | 10,175674 | 3,42 | 6,84 | 30,56941 |
| 2,34 | 4,68 | 10,381237 | 3,44 | 6,879999 | 31,18696 |
| 2,36 | 4,72 | 10,590951 | 3,46 | 6,919999 | 31,81698 |
| 2,38 | 4,76 | 10,804903 | 3,48 | 6,959999 | 32,45972 |
| 2,4 | 4,8 | 11,023176 | 3,5 | 6,999999 | 33,11545 |
| 2,42 | 4,84 | 11,245859 | 3,52 | 7,039999 | 33,78443 |
| 2,44 | 4,88 | 11,473041 | 3,54 | 7,079999 | 34,46692 |
| 2,46 | 4,92 | 11,704811 | 3,56 | 7,119999 | 35,1632 |
| 2,48 | 4,96 | 11,941264 | 3,58 | 7,159999 | 35,87354 |
| 2,5 | 4,9999999 | 12,182494 | 3,6 | 7,199999 | 36,59823 |
| 2,52 | 5,0399999 | 12,428597 | 3,62 | 7,239999 | 37,33757 |
| 2,54 | 5,0799999 | 12,679671 | 3,64 | 7,279999 | 38,09184 |
| 2,56 | 5,1199999 | 12,935817 | 3,66 | 7,319999 | 38,86134 |
| 2,58 | 5,1599999 | 13,197138 | 3,68 | 7,359999 | 39,64639 |
| 2,6 | 5,1999999 | 13,463738 | 3,7 | 7,399999 | 40,4473 |
| 2,62 | 5,2399999 | 13,735723 | 3,72 | 7,439999 | 41,26439 |
| 2,64 | 5,2799999 | 14,013204 | 3,74 | 7,479999 | 42,09799 |
| 2,66 | 5,3199999 | 14,296289 | 3,76 | 7,519999 | 42,94842 |
| 2,68 | 5,3599999 | 14,585093 | 3,78 | 7,559999 | 43,81604 |
| 2,7 | 5,3999999 | 14,879732 | 3,8 | 7,599999 | 44,70118 |
| 2,72 | 5,4399999 | 15,180322 | 3,82 | 7,639999 | 45,60421 |
| 2,74 | 5,4799999 | 15,486985 | 3,84 | 7,679999 | 46,52547 |
| 2,76 | 5,5199999 | 15,799843 | 3,86 | 7,719999 | 47,46535 |
| 2,78 | 5,5599999 | 16,119021 | 3,88 | 7,759999 | 48,42421 |
| 2,8 | 5,5999999 | 16,444647 | 3,9 | 7,799999 | 49,40245 |
| 2,82 | 5,6399999 | 16,776851 | 3,92 | 7,839999 | 50,40044 |
| 2,84 | 5,6799999 | 17,115765 | 3,94 | 7,879999 | 51,4186 |
| 2,86 | 5,7199999 | 17,461527 | 3,96 | 7,919999 | 52,45732 |
| 2,88 | 5,7599999 | 17,814273 | 3,98 | 7,959998 | 53,51703 |
| 2,9 | 5,7999998 | 18,174145 | 4 | 7,999998 | 54,59815 |
| 2,92 | 5,8399998 | 18,541287 | |||
| 2,94 | 5,8799998 | 18,915846 | |||
| 2,96 | 5,9199998 | 19,297972 | |||
| 2,98 | 5,9599998 | 19,687816 | |||
| 3 | 5,9999998 | 20,085537 | |||
| 3,02 | 6,0399998 | 20,491291 | |||
| 3,04 | 6,0799998 | 20,905243 | |||
| 3,06 | 6,1199998 | 21,327557 | |||
| 3,08 | 6,1599998 | 21,758402 |
Реалізація рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта з непостійним кроком: