Типовой расчет (стр. 2 из 3)

Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд

- является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится.

Ответ: ряд

сходится.

5. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Так как

, то ряд расходится.

Ответ: ряд

расходится.

6. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Рассмотрим ряд

.

Поскольку

при :

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Так как

, то ряд сходится.

Согласно признаку сравнения сходится и ряд

.

Ответ: ряд

сходится.

7. Вычислить сумму ряда с точностью α..

α. = 0,001.

Решение.

Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.

- числовой знакочередующейся.

Воспользуемся признаком Лейбница:

1)

2)

Следовательно, ряд

условно сходится.

Проверим абсолютную сходимость ряда

. Рассмотрим ряд .

Воспользуемся признаком Даламбера:

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Следовательно, ряд

сходится абсолютно.

Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:

а₁= -1,5 а₂ = 0,1042 а₃ = - 0,0016 а₄ = 0,0000093

Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и

. Требуемая точность достигнута.

Следовательно:

.

Ответ:

.

8. Найти область сходимости функционального ряда

Решение.

Рассмотрим два интервала:

1)

Проверим необходимый признак сходимости рядов:

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при

ряд расходится.

2)

, то есть

Проверим необходимый признак сходимости рядов:

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при

ряд расходится.

При

имеем:

то есть ряд расходится.

Окончательно, получаем ряд расходится

при любом Х

Ответ:

9. Найти область сходимости функционального ряда

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера:

.

В данном примере:

,

.

Следовательно, ряд

сходится при любом Х, т.е.

Ответ:

.

10. Найти сумму ряда:

Решение.

Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:

то есть

. Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

При

ряд расходится, так как .

Следовательно,

.

Перепишем данный ряд:

Обозначим сумму трёх рядов через

, и соответственно, тогда

.

Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:

1)

: