Типовой расчет (стр. 1 из 3)

1. Найти сумму ряда:

Решение.

Разложим знаменатель на множители.

Значит,

Разложим дробь

, используя метод неопределённых коэффициентов.

то есть:

, ,

Следовательно,

Тогда, исходный ряд примет вид:

Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:

=

=

=

=

=

=

=

=

Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.

.

Тогда искомая сумма равна:

.

Ответ:

.

2. Найти сумму ряда:

Решение.

Разложим дробь

, используя метод неопределённых коэффициентов.

то есть:

, , ,

Следовательно,

Тогда, исходный ряд примет вид:

Найдём n – первых членов ряда

, записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:

=

=

=

=

=

=

=

=

Сложим n – первых членов ряда

и найдём их сумму.

.

Тогда искомая сумма равна:

Ответ:

.

3. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Так как

, то рассмотрим ряд

, тогда

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Тогда,

Так как

, то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов.

Ответ: Ряд

сходится.

4. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Преобразуем n – член этого ряда.

Сравним ряд

с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения:

,

Тогда,