Смекни!
smekni.com

Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 11 из 18)

Пропозиція. 28 Централізатор у

будь-якого елемента з
, що не є розтяганням, абелев.

Нехай тепер

- регулярний знакозмінний простір. Тоді
буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору
. Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору
ми будемо розуміти довільну підгрупу з
. Група
, одержувана із
застосуванням гомоморфізму
, називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору
. Під проективною групою симплектичних перетворень простору
будемо розуміти будь-яку підгрупу групи
.

Пропозиція 29 Якщо

- ненульовий регулярний знакозмінний простір, те

Доказ є легкою вправою й тому опускається.

Пропозиція 30 Якщо

- регулярний знакозмінний простір і
, те
.

Доказ. Взявши симплектичну базу простору

, за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент
із
тоді й тільки тоді лежить в
, коли
.

Полярністю абстрактного векторного простору

над полем
називається біекция
,
, така, що1)
,2)
для всіх
,
з
. Якщо
- регулярний знакозмінний простір над
, те, мабуть,
- полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою
, наявної на
.

Пропозиція 31 Нехай

- абстрактний векторний простір над полем
і
. Припустимо, що
- регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм
і
. Форми
й
тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент
із
, що
.

Доказ. Якщо

, то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що
регулярно відносно
й
, те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення
й
біективні, тобто
й
. З 16 і припущення про те, що
й
визначають ту саму полярність, треба, що
для всіх підпросторів
з
. Отже,
- елемент групи
, щодо якого інваріантні всі підпростори з
, Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з
. Виходить, через 27
. Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент
із
, що
для всіх
з
. Але тоді
для всіх
з
. Тому
.

6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп

Пропозиція 32 Якщо поле

нескінченно, те групи
,
над
також нескінченні.

Доказ. Число трансвекцій

з
нескінченно.

Теорема 33 Порядок групи

дорівнює

Порядок групи

дорівнює