Пропозиція. 28 Централізатор у
будь-якого елемента з , що не є розтяганням, абелев.Нехай тепер
- регулярний знакозмінний простір. Тоді буде, звичайно, групою геометричних перетворень простору . Під групою симплектичних перетворень знакозмінного простору ми будемо розуміти довільну підгрупу з . Група , одержувана із застосуванням гомоморфізму , називається проективної симплектичною групою знакозмінного простору . Під проективною групою симплектичних перетворень простору будемо розуміти будь-яку підгрупу групи .Пропозиція 29 Якщо
- ненульовий регулярний знакозмінний простір, теДоказ є легкою вправою й тому опускається.
Пропозиція 30 Якщо
- регулярний знакозмінний простір і , те .Доказ. Взявши симплектичну базу простору
, за допомогою 8 без праці переконуємося, що елемент із тоді й тільки тоді лежить в , коли .Полярністю абстрактного векторного простору
над полем називається біекция , , така, що1) ,2) для всіх , з . Якщо - регулярний знакозмінний простір над , те, мабуть, - полярність; вона називається полярністю, певною знакозмінною формою , наявної на .Пропозиція 31 Нехай
- абстрактний векторний простір над полем і . Припустимо, що - регулярний знакозмінний простір щодо кожної із двох знакозмінних форм і . Форми й тоді й тільки тоді визначають ту саму полярність, коли найдеться такий ненульовий елемент із , що .Доказ. Якщо
, то твердження очевидно. Залишається довести зворотне твердження. Тому що регулярно відносно й , те через Пропозиція11 і 12 асоційовані лінійні відображення й біективні, тобто й . З 16 і припущення про те, що й визначають ту саму полярність, треба, що для всіх підпросторів з . Отже, - елемент групи , щодо якого інваріантні всі підпростори з , Зокрема, щодо нього інваріантні всі прямі з . Виходить, через 27 . Інакше кажучи, найдеться такий ненульовий елемент із , що для всіх з . Але тоді для всіх з . Тому .Пропозиція 32 Якщо поле
нескінченно, те групи , над також нескінченні.Доказ. Число трансвекцій
з нескінченно.Теорема 33 Порядок групи
дорівнюєПорядок групи
дорівнює