
Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група

ізоморфна групі

. Доведемо перше твердження індукцією по

. Якщо

, то

й можна вважати

.
Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів

,

, таку, що

. Якщо

фіксовано, то існує єдина пара

, де

належить даній прямій, не ортогональної к.

Тому число пар з

на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в

, тобто

Таким чином, є

пара з

на першому місці, а всього

пара.
Зафіксуємо яку-небудь пару

. По теоремі Витта для кожної пари

найдеться принаймні один елемент групи

, що переводить

в.

Отже, є точно

елементів з

, що переводять пари

в парі

. По припущенню індукції це число дорівнює

Далі, кожний елемент групи

переводить

точно в одну пару. Отже, група

містить

елементів, що й було потрібно довести.
Пропозиція 34Якщо

, те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору

дорівнює

Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа

групи

, що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір

простору

, має порядок

Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу

простору

, у якій вектори

породжують

. Із 23 треба, що матриця довільного перетворення

має вигляд

де

, а

- симетрична матриця порядку

над

; ці

й

визначаються перетворенням

однозначно. Крім того, будь-які такі

й

відповідають якомусь

із

. Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи

на число симетричних матриць порядку

над полем

, тобто

.
2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір

простору

. По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору

даються формулою

, де

пробігає групу

. Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно

раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи

, діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.
Пропозиція 35 Якщо

, те число регулярних площин у просторі

дорівнює

Доказ. Надходячи, як при доказі твердження 34, переконаємося, що

повинне містити

регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище (застосувати теорему 33).
Пропозиція 36 Група

ізоморфна симетричній групі

.
Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина

з

елементів в

- мірному регулярному знакозмінному просторі

над полем

, що володіє тим властивістю, що будь-які два його різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор

з

належить рівно двом конфігураціям

і

, так що вони перетинаються по

. Щоб переконатися в цьому, візьмемо симплектическую базу

простору

, у якій

. Ясно, що