Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 14 из 18)

Пропозицію 41 Припустимо, що

, , і нехай - нормальна підгрупа групи , що містить регулярний елемент із відрахуванням , у вигляді добутку двох трансвекцій з . Тоді .

Доказ. Маємо розкладання

, де - регулярна площина. Розглянемо групу

Тоді

. Крім того, . Це очевидно, якщо ; якщо ж , те застосовуємо 2.1.12 і теорему 2.1.11 [6]. Тому - нормальна підгрупа в , що не втримується в. Звідси треба, що . Зокрема, якщо - фіксована пряма в , те містить всі трансвекції площини з прямій . Отже, містить всі трансвекції із із прямій , а тому в силу 38 взагалі всі трансвекції з і .

Пропозицію 42 Припустимо, що

, або , , і нехай - нормальна підгрупа групи , що містить елемент із відрахуванням 2, у вигляді добутку двох трансвекцій з . Тоді .

Доказ.1) Модифікація міркувань, використаних при доказі твердження 41, дозволяє вважати, що

, якщо , і , якщо .

2) Розглянемо спочатку випадок

, . Тоді має вигляд , причому , а зірочки рівні . Далі ці трансвекції перестановочні, тому що , тому ми можемо, якщо потрібно, замінити на й уважати, що насправді . Можна вважати, що ця нова є . Справді, якщо , те за допомогою теореми Витта виберемо таке , що , . Тоді . Замінимо тепер на . Отже, можна вважати, що . Доповнимо до симплектичної бази

простору

й помітимо, що

Підходящим сполученням ми можемо знайти в

лінійні перетворення з матрицями

у базі

. Добуток цих перетворень дорівнює елементу із із матрицею

Отже, група

містить . Таким чином, вона містить всі (= обидві) трансвекції із із прямій . Через 38 звідси треба, що містить всі трансвекції з і, виходить, .

3) Нехай тепер

, . Тоді й . Доповнимо до симплектичної бази Тоді