Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 16 из 18)

Пропозиція 46 Якщо

й - нормальна підгрупа групи , те або , за винятком групи , що, мабуть, не має цю властивість.

Доказ. Із приводу виключення див. 43. Далі, застосовуючи до

теорему 45, одержимо, що або . Допустимо останнє. Тоді

Пропозиція доведена.

Теорему про простоту можна також довести, використовуючи групи підстановок. Нагадаємо, що групою підстановок непустої множини

називається підгрупа групи всіх підстановок множини . Далі, називається транзитивної, якщо для будь-яких , існує така підстановка з , що . Нагадаємо, що розбивкою множини називається множина попарно непересічних підмножин, об'єднання яких дорівнює . Тривіальними називаються дві розбивки, що складаються відповідно із самого й із всіх одноелементних підмножин. Транзитивна група підстановок множини , якщо існує така нетривіальна розбивка множини , що для всіх , . У противному випадку група називається примітивної. Наступний результат є тут ключовим.

Пропозиція 47 Примітивна група підстановок

множини проста, якщо виконані наступні умови:

1)

,

2) для якогось

стабілізатор містить таку нормальну абелеву підгрупу , що породжується підгрупами , .

Для доказу теореми 45 з використанням цього результату розглянемо

як групу підстановок множини прямі простори . Це можливо через те, що , будучи підгрупою групи проективностей простору , точно діє на й, виходить, природно ізоморфна групі підстановок множини . Ми знаємо, що група транзитивна (теорема Витта), (див. 44) і, нарешті, множина проективних трансвекцій із із прямій разом з тотожним перетворенням утворить нормальну абелеву підгрупу стабілізатора прямій в , що разом зі своїми сполученими в породжує групу . Тому все, що залишилося зробити, перш ніж послатися на 47, - це перевірити, що група примітивна.

Пропозиція 48 При

група підстановок множини прямі простори примітивна.

Доказ.1) Розглянемо розбивку

множини , що містить принаймні дві підмножини, одне із яких, скажемо , містить не менш двох прямих. Нам потрібно знайти елемент групи , що не зберігає цю розбивку. Допустимо, що такого елемента не існує.

2) Нехай спочатку

містить дві різні не ортогональні прямі , . Тоді кожні дві різні прямі , з повинні бути не ортогональні. Справді, якщо це не так, то найдуться різні , з , такі, що . Візьмемо пряму з , не приналежній підмножині . Якщо , то по теоремі Витта існує таке перетворення з , що , , і, отже, воно порушує розбивку. Якщо , то знову по теоремі Витта є таке , що , і, виходить, знову порушує розбивка. Отже, ніякі дві різні прямі з не є ортогональними. Тільки що проведені міркування показують, що якщо - довільна пряма з , те містить всі прямі з , не ортогональні к. Тепер очевидно, що можна знайти в пряму , не ортогональну до , але ортогональну до тоді перша умова спричиняє, що , а друге - що , - протиріччя.