Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 18 из 18)

Теорема 49 доведена.

Нехай

, де - позитивне число. Тоді ортогональна група й . позначає сплетення групи із групою , тобто , де . Очевидно, що ; - максимальна параболічна підгрупа в порядку ; - група Судзуки порядку , де .

Лема 50 Нехай

. Тоді

Доказ. Із [8] треба, що

є максимальною підгрупою в. Нехай і . Позначимо

де

матриця в канонічному базисі симплектичного простору , , , .

Тоді

- група, що фіксує розкладання:

Із [8] треба, що стабілізатор цього розкладання

, і .

Лема доведена.

У наведених позначеннях з урахуванням таблиці 1 [7] і леми 50 одержимо:

Теорема 51 Нехай

, де . Якщо , де й - максимальні підгрупи в групі . Тоді

1)

,

2)

,

3)

,

4)

,

5)

.

Висновок

У дипломній роботі знайдені максимальні факторізації симплектичних груп

. Доведено наступні теореми.

Теорема 1. Нехай

, де - непарне число. Якщо , де й - максимальні підгрупи групи , тоді , де - максимальна параболічна підгрупа групи , ізоморфна й має порядок

Теорема 2. Нехай

, де . Якщо , де й - максимальні підгрупи в групі . Тоді

1)

,

2)

,

3)

,

4)

,

5)

.

Список використаних джерел

1. Монахов В.С. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. - К., 2004

2. Каргаполов М.І., Мерзляків Ю.И., Основи теорії груп. - К., 2004

3. Хол Ф., Теорія груп. - К., 2003

4. Горенстейн Д., Кінцеві прості групи: введення в їхню класифікацію., - К., 2003

5. Казарін Л.С., Факторізації кінцевих груп розв'язними підгрупами // Укр. мат. журн. 1991. Т.43, N 7 - і 8. С.947 - і 950.

6. Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. V.14, 1913. p.123--142.

7. Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V.86, N.432. p.1--151.

8. Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p.868--870.