Якщо
, то .Якщо
, , то .Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
- клас всіх груп; - клас всіх розв'язних груп.Групою називається непуста множина
з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:1) операція визначена на
, тобто для всіх ;2) операція асоціативна, тобто
для будь-яких ;3) в
існує одиничний елемент, тобто такий елемент , що для всіх , що для всіх ;4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного
існує такий елемент , що .Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.
Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо
- кінцева множина, що є групою, то називають кінцевою групою, а число елементів в - порядком групи .Підмножина
групи називається підгрупою, якщо - група щодо тієї ж операції, що визначена на . Запис означає, що - підгрупа групи , а - що - власна підгрупа групи , тобто й .Теорема 1 Непуста підмножина
групи буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли й для всіх .Нехай
- непуста підмножина групи . Сукупність всіх елементів групи , з кожним елементом множини , називається централізатором множини в групі й позначається через .Лема 2 1. Якщо
- підмножина групи , то централізатор є підгрупою.2. Якщо
й - підмножина групи й , то .3. Якщо
- підмножина групи й , то .Центром групи
називається сукупність всіх елементів з , з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , тобто центр групи збігається із централізатором підмножини в групі . Крім того, .Зафіксуємо в групі
елемент . Перетинання всіх підгруп групи , що містять елемент , назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом , і позначимо через .Теорема 3 Циклічна підгрупа
, породжена елементом , складається із усіляких цілих ступенів елемента , тобто .Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.
Нехай
- елемент групи . Якщо всі ступені елемента різні, тобто для всіх цілих , то говорять, що елемента має нескінченний порядок.