Смекни!
smekni.com

Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 2 из 18)

- нормалізатор підгрупи
в групі
;

- центр групи
;

- циклічна група порядку
;

Якщо

, то
.

Якщо

,
, то
.

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

- клас всіх груп;

- клас всіх розв'язних груп.

3. Основні поняття

Групою називається непуста множина

з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:

1) операція визначена на

, тобто
для всіх
;

2) операція асоціативна, тобто

для будь-яких
;

3) в

існує одиничний елемент, тобто такий елемент
, що
для всіх
, що
для всіх
;

4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного

існує такий елемент
, що
.

Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо

- кінцева множина, що є групою, то
називають кінцевою групою, а число
елементів в
- порядком групи
.

Підмножина

групи
називається підгрупою, якщо
- група щодо тієї ж операції, що визначена на
. Запис
означає, що
- підгрупа групи
, а
- що
- власна підгрупа групи
, тобто
й
.

Теорема 1 Непуста підмножина

групи
буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли
й
для всіх
.

Нехай

- непуста підмножина групи
. Сукупність всіх елементів групи
, з кожним елементом множини
, називається централізатором множини
в групі
й позначається через
.

Лема 2 1. Якщо

- підмножина групи
, то централізатор
є підгрупою.

2. Якщо

й
- підмножина групи
й
, то
.

3. Якщо

- підмножина групи
й
, то
.

Центром групи

називається сукупність всіх елементів з
, з кожним елементом групи. Центр позначається через
. Ясно, що
, тобто центр групи
збігається із централізатором підмножини
в групі
. Крім того,
.

Зафіксуємо в групі

елемент
. Перетинання всіх підгруп групи
, що містять елемент
, назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом
, і позначимо через
.

Теорема 3 Циклічна підгрупа

, породжена елементом
, складається із усіляких цілих ступенів елемента
, тобто
.

Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.

Нехай

- елемент групи
. Якщо всі ступені елемента
різні, тобто
для всіх цілих
, то говорять, що елемента
має нескінченний порядок.