Якщо
- непуста підмножина групи й те й . Елемент називається перестановочним з підмножиною , якщо . Рівність означає, що для будь-якого елемента існує такий елемент , що . Якщо елемент перестановочний з підмножиною , то й . Сукупність всіх елементів групи , перестановочних з підмножиною , називається нормалізатором підмножини в групі й позначається через . Отже,5. Нехай
- непуста підмножина групи , - довільний елемент групи . Тоді:1)
;2)
;3)
;4)
;5) якщо
- підгрупа групи , те .Підгрупа
називається нормальною підгрупою групи , якщо для всіх . Запис читається: " - нормальна підгрупа групи ". Рівність означає, що для будь-якого елемента існує елемент такий, що .Теорема. 6 Для підгрупи
групи наступні твердження еквівалентні:1)
- нормальна підгрупа;2) підгрупа
разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто для всіх ;3) підгрупа
збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто для всіх .Нехай
- підгрупа групи . Тоді:1)
;2) якщо
й , те ;3)
- найбільша підгрупа групи , у якій нормальна;4) якщо
, те . Обернено, якщо , те ;5)
для будь-якої непустої підмножини групи .У кожній групі
тривіальні підгрупи (одинична підгрупа й сама група ) є нормальними підгрупами. Якщо в неодиничній групі немає інших нормальних підгруп, то група називається простій. Одиничну групу вважають непростий.Знакозмінні простори
Векторний простір
над полем називається знакозмінним, якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма , тобто відображення з наступними властивостями:для всіх
, , з і всіх з . Відзначимо наслідок цих співвідношень: . Якщо - знакозмінна форма й - довільний елемент із , то відображення , певне формулою , і складний об'єкт, що є вихідним векторним простором із цією новою формою , буде знакозмінним простором, що ми позначимо через .