Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 5 из 18)

Дискримінантом

векторів у знакозмінному просторі називається визначник

Зокрема, якщо

- база простору й у цій базі, те Якщо - інша база, то співвідношення показує, що для якогось із . Отже, канонічний образ елемента в не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору й позначається через . Тут множина визначається очевидним образом: беремо , приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис , де , буде позначати, що дорівнює канонічному образу елемента в або, інакше кажучи, що має базу , для якої . Якщо , то думаємо .

Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір

зі знакозмінною формою . Нехай - його база, а - сполучена база сполученого простору . Нехай в. Тоді . Легко бачити, що матриця лінійного перетворення , певного раніше, щодо баз і дорівнює ; дійсно, якщо , те

Аналогічно матриця перетворення

щодо баз і дорівнює .

Пропозиція 10 Будь-які

векторів знакозмінного простору , такі, що , лінійно незалежно.

Доказ. Залежність

спричиняє для . Це означає залежність між рядками матриці , що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.

Пропозиція11 Наступні твердження для знакозмінного простору

рівносильні:

,

,

,

біективно, біективно.

Доказ. Можна вважати, що

. Зафіксуємо базу простору , і нехай - сполучена база. Нехай в. Через 9

оборотна
біективно,

тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі

біективно
,

так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).

Визначення 12Знакозмінний простір

називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов Пропозиція11. Знакозмінний простір називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .

Якщо

, то регулярно. Якщо , то через Пропозиція11 і 12