Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 6 из 18)

Пропозиція.13 Нехай

- уявлення знакозмінних просторів. Якщо регулярно, то - ізометрія.

Доказ. Візьмемо

з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору одержуємо, що .

Пропозиція 14Кожній базі

регулярного знакозмінного простору відповідає єдина база цього простору, називана сполученої до відносно й така, що для всіх , . Якщо в и в , то .

Доказ.1) Покладемо

для , де - сполучена до база сполученого простору . Тоді - база, тому що біективно. Крім того, . Цим доведене існування бази . Одиничність безпосередньо треба з регулярності.2) Нехай . Тоді й Звідси , так що й .

Розглянемо знакозмінний простір

зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що має ортогональне розкладання на підпростори якщо воно є прямою сумою з попарно ортогональними , тобто при . Назвемо компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір розщеплює або що є компонентом простору , якщо існує підпростір простору , таке, що . Маємо де добуток береться в.

Розглянемо два знакозмінних простори

й над тим самим полемо й припустимо, що є ортогональне розкладання , а - сума просторів , , причому при . Нехай для кожного , , задане уявлення . Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення , що погодиться з кожним на . Насправді легко перевірити, що - уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді

Важливим є випадок, коли

, для всіх і для всіх ; тоді

Якщо дано ще одне таке уявлення

, то

Розглянемо знакозмінний простір

над полем . Під ортогональним доповненням підпростору простору в розуміється підпростір

співпадаюче також з

Визначимо радикал простору

як підпростір . Очевидно,

Пропозиція15 Нехай

- знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто , де при . Тоді