Смекни!
smekni.com

Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 7 из 18)

,

регулярно
кожне
регулярно,

регулярно
.

Доказ. (1) Візьмемо в

довільний елемент
і запишемо його у вигляді
,
. Тоді

так що

, звідки
. Обернено, якщо
, де
, те
звідки
.(2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює
.(3) Якщо
,
, те
звідки
. Отже,
і, виходить,
.

Пропозиція 16 Якщо

- підпростір знакозмінного простору
, те
- анулятор простору
в
, тобто
. Зокрема,
.

Доказ безпосередньо треба з визначень.

Пропозиція 17 Нехай

- регулярний підпростір знакозмінного простору
. Тоді
розщеплює
, точніше,
. Якщо
- інше розщеплення,
.

Доказ. Тому що

регулярно, те
. Отже, через 16

Тому

й, виходить,
. Далі, якщо
, те
, звідки
. Порівнюючи розмірності, одержуємо
.

Пропозиція 18 Якщо

й
- довільні підпростори регулярного знакозмінного простору
розмірності
, те

,

,

,

,

.

Доказ. Тому що

регулярно, те через Пропозиція11 відображення
біективно. Отже,
, звідки через 16
. Цим доведено (1). Далі,
, тому порівняння дає
. Цим доведено (2). Доведемо тепер (3):

Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.

Розглянемо радикал

знакозмінного простору
, і нехай
- підпростір простору
, таке, що
. Назвемо всяке таке розкладання радикальним розкладанням простору
. Очевидно,
визначається не єдиним образом, за винятком випадків, коли
регулярно або цілком вироджене.

Зі співвідношень

треба рівність

, тому
регулярно.

Теорема 19 Якщо

- регулярний знакозмінний простір розмірності
, те

Зокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність і дискримінант

. Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем
ізометричні.

Доказ. Через регулярність простору

існують вектори
й
, що задовольняють умові
. Тому що
, те ці вектори повинні бути незалежними; тому
- площина. Очевидно,

Зокрема,

регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля. Отже, через 17
. Але
- також регулярний знакозмінний простір. Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для доказу третього твердження застосовуємо 7. Теорема доведена.

База

регулярного знакозмінного простору
називається гіперболічної, якщо

і сімплектичною, якщо