Доказ. (1) Візьмемо в
довільний елемент і запишемо його у вигляді , . Тодітак що
, звідки . Обернено, якщо , де , те звідки .(2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює .(3) Якщо , , те звідки . Отже, і, виходить, .Пропозиція 16 Якщо
- підпростір знакозмінного простору , те - анулятор простору в , тобто . Зокрема, .Доказ безпосередньо треба з визначень.
Пропозиція 17 Нехай
- регулярний підпростір знакозмінного простору . Тоді розщеплює , точніше, . Якщо - інше розщеплення, .Доказ. Тому що
регулярно, те . Отже, через 16Тому
й, виходить, . Далі, якщо , те , звідки . Порівнюючи розмірності, одержуємо .Пропозиція 18 Якщо
й - довільні підпростори регулярного знакозмінного простору розмірності , те , , , , .Доказ. Тому що
регулярно, те через Пропозиція11 відображення біективно. Отже, , звідки через 16 . Цим доведено (1). Далі, , тому порівняння дає . Цим доведено (2). Доведемо тепер (3):Аналогічно доводиться (4). Нарешті, твердження (5) тривіально.
Розглянемо радикал
знакозмінного простору , і нехай - підпростір простору , таке, що . Назвемо всяке таке розкладання радикальним розкладанням простору . Очевидно, визначається не єдиним образом, за винятком випадків, коли регулярно або цілком вироджене.Зі співвідношень
треба рівність
, тому регулярно.Теорема 19 Якщо
- регулярний знакозмінний простір розмірності , теЗокрема, регулярний знакозмінний простір має парну розмірність і дискримінант
. Крім того, регулярні знакозмінні простори однакової розмірності над тим самим полем ізометричні.Доказ. Через регулярність простору
існують вектори й , що задовольняють умові . Тому що , те ці вектори повинні бути незалежними; тому - площина. Очевидно,Зокрема,
регулярно, тому що дискримінант відмінний від нуля. Отже, через 17 . Але - також регулярний знакозмінний простір. Перше твердження треба тепер з міркувань індукції. Друге тривіально треба з першого. Для доказу третього твердження застосовуємо 7. Теорема доведена.База
регулярного знакозмінного простору називається гіперболічної, якщоі сімплектичною, якщо