Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп (стр. 8 из 18)

Якщо

гіперболічна база простору

, то перестановка

симплектична база, і навпаки. По теоремі 19 ненульовий регулярний знакозмінний простір має гіперболічну базу, а тому й симплектичну базу.

Пропозиція 20 Нехай

- регулярний знакозмінний простір, - цілком вироджений підпростір і - база підпростору . Тоді існує регулярний підпростір простору виду , де - регулярні площини й , .

Доказ. Випадок

очевидний. При застосовуємо індукцію по . Покладемо й . Тоді , звідки через 18. Виберемо й покладемо . Тоді , , і, отже, . Виходить, - регулярна площина, що містить . У силу 17 можна записати . Тоді , тому що й отже, . Залишається застосувати припущення індукції до розглянутого як підпростір знакозмінного простору .

Пропозиція 21 Якщо

- максимальне цілком вироджений підпростір регулярного знакозмінного простору , те .Доказ. Тому що цілком вироджене, те , тому через 18 , звідки .

Якщо допустити, що

, то нескладне застосування тверджень 20 і 17 дасть цілком вироджений підпростір, що строго містить у протиріччя з максимальністю . Тому .

Пропозиція.22 Якщо

й - максимальні цілком вироджені підпростору регулярного знакозмінного простору , що задовольняють умові , то для кожної бази простору М існує така база простору , що - симплектична база простору .

Доказ. Зрозуміло,

(через 21). Нехай , - база підпростору . Тоді - база простору .

Нехай

- сполучена до неї база відносно (див. 14). Оскільки , те елементи лежать в. Виходить, - база простору , а симплектична база в.

Пропозиція 23 Нехай

- регулярний знакозмінний простір і його симплектична база.

Нехай

- максимальне цілком вироджений простір . Тоді матричний ізоморфізм, асоційований з , відображає групу лінійних перетворень на групу матриць виду

де

- оборотна - матриця, а - матриця задовольняє співвідношенню .

Доказ. Це легко перевіряється належним застосуванням твердження 8.

Теорема Витта 24 Нехай

і - ізометричні регулярні знакозмінні простори над тим самим полем . Якщо - довільний підпростір простору й - ізометрія в , то її можна продовжити до ізометрії простору на .

Доказ. Візьмемо радикальне розкладання

, і нехай - база підпростору (мається на увазі, що , якщо ). Застосовуючи 20 до регулярного знакозмінного простору , ми бачимо, що в ньому існує підпростір виду е - регулярні площини й , . Тому що регулярно, те воно розщеплює ; отже, існує регулярний підпростір простору , таке, що