Дослідження дзета-функції Римана (стр. 2 из 6)

Звідси, зокрема, треба, що

. Дійсно, покладемо . Тоді , тобто . Тому . З того, що , а , випливає доказуване твердження.

Можна, однак, одержати ще більш точний результат для оцінки поводження дзета-функції в околиці одиниці, чим наведені вище, що належить Дирихле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності

. Додамо до всіх частин нерівностей (3) суму й віднімемо . Маємо . Нехай тут s прагне до одиниці. За правилом Лопиталя легко обчислити й . Ми поки не знаємо, чи існує межа вираження при , тому, скориставшись найбільшою й найменшою межами, напишемо нерівності так:

. Через довільність n візьмемо . Перше й останнє вираження прагнуть до Ейлерової постійного C (C 0,577). Виходить , а, отже, існує й звичайна межа й .

Знайдені вище межі дозволяють одержати лише приблизне подання про вид графіка дзета-функції. Зараз ми виведемо формулу, що дасть можливість нанести на координатну площину конкретні крапки, а саме, визначимо значення

, де k – натуральне число.

Візьмемо відоме розкладання

, де - знамениті числа Бернуллі (по суті, через нього ці числа й визначаються). Перенесемо доданок у ліву частину рівності. Ліворуч одержуємо cth , а в правій частині - , тобто cth . Заміняємо на , одержуємо cth .

З іншого боку, існує рівність cth

, з якого cth . Підстановкою замість знаходимо cth . Якщо , то для будь-якого N і по теоремі про додавання нескінченної множини статечних рядів cth .

Дорівняємо отримані розкладання:

, отже . Звідси негайно треба формула

(4), де - k-е число Бернуллі. Вона зручна тим, що ці числа добре вивчені й для них складені великі таблиці.

Тепер, виходячи з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функції Римана, що досить добре відбиває її поводження на всій області визначення.

Леонард Ейлер, що вперше розглянув дзета-функцію, одержав чудове розкладання її в нескінченний добуток, що іноді теж приймають за визначення:

, де p_i – i-е простої число (4).

Доведемо тотожність ряду (1) і добутку (4). Згадавши формулу суми геометричної прогресії, одержуємо рівність

Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, що відповідають всім простим числам, що не перевершують заданого натурального числа N, то частковий добуток, що вийшов, виявиться рівним , де символ * означає, що підсумовування поширюється не на всі натуральні числа, а лише на ті з них (не вважаючи одиниці), які у своєму розкладанні містять тільки прості числа менші N. Тому що перші N натуральних чисел цією властивістю володіють, то

(5).

Сума

містить не всі числа, більші N+1, тому, мабуть, . З (5) одержуємо

(6).

Через збіжність ряду (1), вираження праворуч, що представляє його остача після N-Го члена, прагне до нуля при N прагнучої до нескінченності, а

є добуток (4). Значить із нерівності при , що й було потрібно довести.

Формула (4) важлива тому, що вона зв'язує натуральний ряд, представлений множиною значень аргументу дзета-функції, із множиною простих чисел. Ще один крок у цьому напрямку ми зробимо, оцінивши

, а саме показавши, що , де залишається обмеженим при .