Дослідження дзета-функції Римана (стр. 4 из 6)

Для

можна перетворити вираження (3) дзета-функції. При маємо , виходить, і . Тепер при (3) може бути записане у вигляді .

Небагато більше складними міркуваннями можна встановити, що в дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функції на напівплощину

. Покладемо , а , тобто первісна для . обмежено, тому що , а інтеграл і обмежений через те, що . Розглянемо інтеграл при x₁>x₂ і . Інтегруємо його вроздріб, прийнявши , , тоді , а по зазначеному вище твердженню . Одержуємо . Візьмемо , а . Маємо , , тому що є обмеженою функцією. Виходить,

(4).

Користуючись абсолютною збіжністю інтеграла

, якщо , і обмеженістю функції , робимо висновок, що в лівій частині рівності (4) інтеграл теж сходиться при . Значить формулою (3) можна продовжити дзета-функцію й на напівплощину правіше прямій .

Неважко встановити, що для негативних

, тому з (3) маємо

(5) при .

З теорії рядів Фур'є відомо, що для нецілих значень x справедливе розкладання в ряд

(6).

Підставимо його в рівність (5) і інтегруємо ряд:

. Зробимо в отриманому інтегралі підстановку , звідси треба , а , і одержимо далі . Відомо, що , значить . З відомого співвідношення для гамма-функції , по формулі доповнення , отже

Отже, ми одержали функціональне рівняння дзета-функції Римана

(7),

яке саме по собі може служити засобом вивчення цієї функції, тому що цілком характеризує її, у тому розумінні, що будь-яка інша функція

, що задовольняє рівності (7), а також ще деяким природним умовам, тотожна с.

Поки, щоправда, як треба з міркувань, ми довели формулу (7) для

. Однак права частина цієї рівності є аналітичною функцією s і при . Це показує, що дзета-функція може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину, причому не має на ній ніяких особливостей, крім згадуваного полюса при .

Щоб доказ був строгим, ми повинні ще обґрунтувати по членне інтегрування. Оскільки ряд (6) сходяться майже всюди і його часткові суми залишаються обмеженими, по членне інтегрування на будь-якому кінцевому відрізку припустимо. Через

для кожного , залишається довести, що при . Але інтегруючи внутрішній інтеграл вроздріб маємо

. Звідси без праці виходить наше твердження.

Функціональне рівняння дзета-функції (7) може бути записано багатьма способами. Наприклад, замінимо s на 1-s, одержуємо рівносильну рівність

(8). З нього можна одержати два невеликих наслідки.

Підставимо в (8) замість s число 2m, де m – натуральне число. Маємо

. По формулі (4) першого розділу , а , тому й зробивши в правій частині всі скорочення, з огляду на, що , одержимо .

Покажемо ще, що

. Для цього логарифмуємо рівність (8): і результат диференціюємо . В околиці крапки s=1 , , , де З – постійна Ейлера, а k – довільна постійна. Отже, спрямовуючи s до одиниці, одержимо , тобто . Знову з формули (4) глави 1 при k=0 , виходить, дійсно, .