Дослідження дзета-функції Римана (стр. 5 из 6)

Розділ 3

Як уже було сказано, дзета-функція Римана широко застосовується в математичному аналізі. Однак найбільше повно важливість її виявляється в теорії чисел, де вона надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел у натуральному ряді. На жаль, розповідь про серйозні й нетривіальні застосування дзета-функції Римана виходить за рамки цієї роботи. Але щоб хоча б небагато представити міць цієї функції, доведемо з її допомогою кілька цікавих тверджень.

Наприклад, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Самий знаменитий елементарний доказ належить Евклиду. Воно полягає в наступному. Припустимо, що існує кінцеве число простих чисел, позначимо їх p₁, p₂, … , p_n... Розглянемо число p₁p₂…p_n+1,воно не ділиться на жодне із простих і не збігається з жодним з них, тобто є простим числом, відмінним від вищевказаних, що суперечить припущенню. Виходить, кількість простих чисел не може бути кінцевим.

Інший доказ цього факту, що використовує дзета-функцію, було дано Ейлером. Розглянемо дане в першому розділі рівність (5) при s=1, одержимо

, звідси й через гармонійний ряд, маємо при

(1). Якби кількість простих чисел бути кінцевим, то й цьому добутку мало кінцеве значення. Однак, отриманий результат свідчить про зворотний. Доказ завершений.

Тепер перепишемо (1) у вигляді

. Опираючись на теорему про збіжність нескінченного добутку, з попереднього робимо висновок, що ряд розходиться. Ця пропозиція дає деяку характеристику росту простих чисел. Підкреслимо, що воно набагато сильніше твердження про гармонійний ряд, тому що тут мова йде лише про частину його членів, тим більше що в натуральному ряді є як завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад: , , … , ...

Незважаючи на свою простоту наведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, тому що вони починають низку досліджень усе більше й більше глибоких властивостей ряду простих чисел, що триває донині. Спочатку, основною метою вивчення дзета-функції саме й було дослідження функції

, тобто кількості простих чисел не переважаючих x. Як приклад формули, що зв'язує й , ми зараз одержимо рівність

(2).

Спочатку скористаємося розкладанням дзета-функції в добуток:

. З логарифмічного ряду , з огляду на, що , приходимо до ряду . Виходить, .

Тепер обчислимо інтеграл у правій частині (2). Тому що при

, те . У внутрішньому інтегралі покладемо , тоді й , звідси .У проміжку інтегрування , тому вірно розкладання й . Одержуємо . Тепер . Якщо зрівняти отримане значення інтеграла з поруч для , то побачимо, що вони тотожні й рівність (2) доведено.

Використовуємо формулу (2) для доказу однієї дуже серйозної й важливої теореми, а саме одержимо закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що

.

Як історична довідка відзначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус емпірично встановив цю закономірність ще в п'ятнадцятирічному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, що містить таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмів.

Для доказу візьмемо формулу (2) і спробуємо дозволити це рівняння відносно

, тобто звернути інтеграл. Зробимо це за допомогою формули обігу Мелина в такий спосіб. Нехай . Тоді

(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а не вплине на асимптотику . Дійсно, тому що , інтеграл для сходиться рівномірно в напівплощині , що легко виявляється порівнянням з інтегралом . Отже, регулярна й обмежена в напівплощині . Те ж саме справедливо й відносно , тому що .

Ми могли б уже застосувати формулу Меллина, але тоді було б досить важко виконати інтегрування. Тому колись перетворимо рівність (3) у такий спосіб. Диференціюючи по s, одержуємо

. Позначимо ліву частину через і покладемо , , ( , і думаємо рівними нулю при ). Тоді, інтегруючи вроздріб, знаходимо при , або .